Решите задачи

Давайте разберём задачи по порядку:

Задача 1

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 20 \text{ см} \), \( AC = 12 \text{ см} \). Найдите \( \sin A \), \( \cos A \), \( \tg A \).

Решение:

1. Найти \( BC \):

   Используем теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 20^2 = 12^2 + BC^2 \] \[ 400 = 144 + BC^2 \] \[ BC^2 = 256 \] \[ BC = 16 \text{ см} \]

2. Найти тригонометрические функции угла \( A \):

   • \( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{16}{20} = 0.8 \)

   • \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{20} = 0.6 \)

   • \( \tg A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \)

Задача 2

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( AC = 60 \text{ см} \), \( BC = 80 \text{ см} \). Найдите высоту \( h \), опущенную на гипотенузу.

Решение:

1. Найти гипотенузу \( AB \):

   \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 60^2 + 80^2 \] \[ AB^2 = 3600 + 6400 \] \[ AB^2 = 10000 \] \[ AB = 100 \text{ см} \]

2. Найти высоту \( h \) на гипотенузу:

   Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \] \[ \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot h \] \[ 4800 = 50 \cdot h \] \[ h = \frac{4800}{50} = 96 \text{ см} \]

Задача 3

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( AC = 90 \text{ см} \), \( M \) — середина \( CB \); \( KM = 10 \text{ см} \), \( CKM = 30^\circ \). Найдите:

• \( CM \)
• \( AB \)
• Площадь \( \triangle ABC \).

Решение:

1. \( CM \) и \( MB \):

   Так как \( M \) — середина \( CB \), \( CM = MB \).

2. Найти \( CM \) используя высоту \( KM \) как катет \( CKM \):

   \( \triangle CKM \) — прямоугольный треугольник, где \( \angle CKM = 30^\circ \).

   \[ \sin 30^\circ = \frac{KM}{CM} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{CM} \] \[ CM = 20 \text{ см} \]

3. \( CB \):

   \( CB = 2 \times CM = 40 \text{ см} \)

4. \( AB \) по теореме Пифагора:

   \[ AB^2 = AC^2 + CB^2 \] \[ AB^2 = 90^2 + 40^2 \] \[ AB^2 = 8100 + 1600 \] \[ AB^2 = 9700 \] \[ AB = \sqrt{9700} \approx 98.49 \text{ см} \]

5. Площадь \( \triangle ABC \):

   \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \] \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 40 = 1800 \text{ кв. см} \]

Все задачи решены, и шаги подробно объяснены.