Решите задачи

Давайте разберём задачи по порядку: ### Задача 1 В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 20 \text{ см} \), \( AC = 12 \text{ см} \). Найдите \( \sin A \), \( \cos A \), \( \tg A \). #### Решение: 1. **Найти \( BC \):** Используем теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 20^2 = 12^2 + BC^2 \] \[ 400 = 144 + BC^2 \] \[ BC^2 = 256 \] \[ BC = 16 \text{ см} \] 2. **Найти тригонометрические функции угла \( A \):** - \( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{16}{20} = 0.8 \) - \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{20} = 0.6 \) - \( \tg A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \) ### Задача 2 В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( AC = 60 \text{ см} \), \( BC = 80 \text{ см} \). Найдите высоту \( h \), опущенную на гипотенузу. #### Решение: 1. **Найти гипотенузу \( AB \):** \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 60^2 + 80^2 \] \[ AB^2 = 3600 + 6400 \] \[ AB^2 = 10000 \] \[ AB = 100 \text{ см} \] 2. **Найти высоту \( h \) на гипотенузу:** Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \] \[ \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot h \] \[ 4800 = 50 \cdot h \] \[ h = \frac{4800}{50} = 96 \text{ см} \] ### Задача 3 В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( AC = 90 \text{ см} \), \( M \) — середина \( CB \); \( KM = 10 \text{ см} \), \( CKM = 30^\circ \). Найдите: - \( CM \) - \( AB \) - Площадь \( \triangle ABC \). #### Решение: 1. **\( CM \) и \( MB \):** Так как \( M \) — середина \( CB \), \( CM = MB \). 2. **Найти \( CM \) используя высоту \( KM \) как катет \( CKM \):** \( \triangle CKM \) — прямоугольный треугольник, где \( \angle CKM = 30^\circ \). \[ \sin 30^\circ = \frac{KM}{CM} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{CM} \] \[ CM = 20 \text{ см} \] 3. **\( CB \):** \( CB = 2 \times CM = 40 \text{ см} \) 4. **\( AB \) по теореме Пифагора:** \[ AB^2 = AC^2 + CB^2 \] \[ AB^2 = 90^2 + 40^2 \] \[ AB^2 = 8100 + 1600 \] \[ AB^2 = 9700 \] \[ AB = \sqrt{9700} \approx 98.49 \text{ см} \] 5. **Площадь \( \triangle ABC \):** \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \] \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 40 = 1800 \text{ кв. см} \] Все задачи решены, и шаги подробно объяснены.