Для решения задачи начнем с анализа взаимодействия между двумя металлическими дробинками. Когда мы сообщаем им положительный заряд, дробинки отталкиваются друг от друга, что и приводит к образованию угла 90° между нитями.
Шаг 1: Определение заряда
Каждая дробинка получает заряд, равный количеству добавленных электронов:
[ Q = N_e \cdot e ]
где:
- ( N_e = 5 \times 10^{12} ) — количество электронов,
- ( e \approx 1.6 \times 10^{-19} ) Кл — заряд одного электрона.
Подставляем значения:
[
Q = 5 \times 10^{12} \cdot 1.6 \times 10^{-19} = 8 \times 10^{-7} , \text{Кл}
]
Шаг 2: Силы, действующие на дробинки
Когда дробинки расходятся на угол 90°, важно учитывать силы, действующие на каждую дробинку. Основными силами являются:
- сила тяжести ( F_g ),
- электростатическая сила отталкивания ( F_e ).
Сила тяжести рассчитывается как:
[
F_g = m \cdot g
]
где:
- ( m = 4.5 , \text{г} = 4.5 \times 10^{-3} , \text{кг} ),
- ( g \approx 9.81 , \text{м/с}^2 ).
Таким образом,
[
F_g = 4.5 \times 10^{-3} \cdot 9.81 \approx 0.044145 , \text{Н}
]
Шаг 3: Электростатическая сила
Электростатическая сила между двумя заряженными телами описывается законом Кулона:
[
F_e = k \cdot \frac{Q^2}{r^2}
]
где:
- ( k \approx 8.99 \times 10^9 , \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 ),
- ( r ) — расстояние между дробинками.
Когда дробинки находятся на расстоянии ( r ), образуемом углом 90°:
[
r = L \sqrt{2}
]
где ( L ) — длина нити. Таким образом, электростатическая сила принимает вид:
[
F_e = k \cdot \frac{Q^2}{(L \sqrt{2})^2} = k \cdot \frac{Q^2}{2L^2}
]
Шаг 4: Уравновешивание сил
При равновесии сил действует следующее уравнение:
[
F_e = F_g
]
Подставляем известные значения:
[
k \cdot \frac{Q^2}{2L^2} = mg
]
Шаг 5: Подстановка значений
Подставляем все известные величины:
[
8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(8 \times 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145
]
Упростим уравнение:
[
8.99 \times 10^9 \cdot \frac{64 \times 10^{-14}}{2L^2} = 0.044145
]
[
8.99 \times 10^9 \cdot 32 \times 10^{-14} = 0.044145 L^2
]
Шаг 6: Решение относительно ( L^2 )
[
\frac{8.99 \times 32}{0.044145} = L^2 \times 10^{-5}
]
Решаем это уравнение, чтобы найти ( L ):
[
L^2 = \frac{8.99 \times 32 \times 10^{-5}}{0.044145}
]
Теперь вычисляем:
Вычисляем ( 8.99 \times 32 ):
[ 8.99 \times 32 \approx 287.68 ]
Делим на ( 0.044145 ):
[ L^2 \approx \frac{287.68 \times 10^{-5}}{0.044145} \approx 6.52 \times 10^{-3} ]
Таким образом:
[ L \approx \sqrt{6.52 \times 10^{-3}} \approx 0.0807 , \text{м} ]
Ответ
Длина каждой ниточки ( L ) примерно равна ( 0.0807 , \text{м} ), или 8.07 см.
