Две одинаковых металлических дробинки массой по m=4,5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L . Когда каждому шарику сообщили количество электронов,…

Для решения задачи начнем с анализа взаимодействия между двумя металлическими дробинками. Когда мы сообщаем им положительный заряд, дробинки отталкиваются друг от друга, что и приводит к образованию угла 90° между нитями.

Шаг 1: Определение заряда

Каждая дробинка получает заряд, равный количеству добавленных электронов:

\[ Q = N_e \cdot e \]

где:

• \( N_e = 5 \times 10^{12} \) — количество электронов,
• \( e \approx 1.6 \times 10^{-19} \) Кл — заряд одного электрона.

Подставляем значения:

\[ Q = 5 \times 10^{12} \cdot 1.6 \times 10^{-19} = 8 \times 10^{-7} \, \text{Кл} \]

Шаг 2: Силы, действующие на дробинки

Когда дробинки расходятся на угол 90°, важно учитывать силы, действующие на каждую дробинку. Основными силами являются:

• сила тяжести \( F_g \),
• электростатическая сила отталкивания \( F_e \).

Сила тяжести рассчитывается как:

\[ F_g = m \cdot g \]

где:

• \( m = 4.5 \, \text{г} = 4.5 \times 10^{-3} \, \text{кг} \),
• \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \).

Таким образом,

\[ F_g = 4.5 \times 10^{-3} \cdot 9.81 \approx 0.044145 \, \text{Н} \]

Шаг 3: Электростатическая сила

Электростатическая сила между двумя заряженными телами описывается законом Кулона:

\[ F_e = k \cdot \frac{Q^2}{r^2} \]

где:

• \( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \),
• \( r \) — расстояние между дробинками.

Когда дробинки находятся на расстоянии \( r \), образуемом углом 90°:

\[ r = L \sqrt{2} \]

где \( L \) — длина нити. Таким образом, электростатическая сила принимает вид:

\[ F_e = k \cdot \frac{Q^2}{(L \sqrt{2})^2} = k \cdot \frac{Q^2}{2L^2} \]

Шаг 4: Уравновешивание сил

При равновесии сил действует следующее уравнение:

\[ F_e = F_g \]

Подставляем известные значения:

\[ k \cdot \frac{Q^2}{2L^2} = mg \]

Шаг 5: Подстановка значений

Подставляем все известные величины:

\[ 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{(8 \times 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145 \]

Упростим уравнение:

\[ 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{64 \times 10^{-14}}{2L^2} = 0.044145 \]

\[ 8.99 \times 10^9 \cdot 32 \times 10^{-14} = 0.044145 L^2 \]

Шаг 6: Решение относительно \( L^2 \)

\[ \frac{8.99 \times 32}{0.044145} = L^2 \times 10^{-5} \]

Решаем это уравнение, чтобы найти \( L \):

\[ L^2 = \frac{8.99 \times 32 \times 10^{-5}}{0.044145} \]

Теперь вычисляем:

1. Вычисляем \( 8.99 \times 32 \): \[ 8.99 \times 32 \approx 287.68 \]

2. Делим на \( 0.044145 \): \[ L^2 \approx \frac{287.68 \times 10^{-5}}{0.044145} \approx 6.52 \times 10^{-3} \]

Таким образом: \[ L \approx \sqrt{6.52 \times 10^{-3}} \approx 0.0807 \, \text{м} \]

Ответ

Длина каждой ниточки \( L \) примерно равна \( 0.0807 \, \text{м} \), или 8.07 см.