3. Внешний угол треугольника при С равен 135° . Один из углов треугольника не смежных с внешним углом равен 45° . Найдите углы треугольника.

Давайте обозначим углы треугольника как \( A \), \( B \) и \( C \). Дано, что внешний угол при вершине \( C \) равен \( 135^\circ \). Внешний угол треугольника равен сумме двух соответственных углов, не смежных с ним. Это значит, что: \[ C + B = 135^\circ \] Также известно, что один из углов треугольника, например угол \( A \), равен \( 45^\circ \): \[ A = 45^\circ \] В треугольнике сумма всех углов равна \( 180^\circ \): \[ A + B + C = 180^\circ \] Подставим значение угла \( A \): \[ 45^\circ + B + C = 180^\circ \] Теперь выразим \( B + C \): \[ B + C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] Теперь у нас есть две системы уравнений: 1. \( B + C = 135^\circ \) (из суммы углов треугольника) 2. \( B + C = 135^\circ \) (из внешнего угла) Теперь мы можем выразить угол \( C \) через угол \( B \): \[ C = 135^\circ - B \] Теперь подставим \( C \) в уравнение \( B + C = 135^\circ \): \[ B + (135^\circ - B) = 135^\circ \] Это уравнение является верным для любого значения \( B \). Теперь давайте найдем значения углов, используя сумму углов треугольника. Подставим \( C \): \[ 45^\circ + B + (135^\circ - B) = 180^\circ \] Это также верно, так как сумма \( B \) и \( C \) равна \( 135^\circ \). Теперь мы можем найти \( B \): Подставим значение для \( C \) (если \( C \) впоследствии даст последнее значение). Получим: 1. \( B + (135^\circ - B) + 45^\circ = 180^\circ \) 2. Это говорит, что при любом \( B \) и \( C \) определяется допустимым. Итак, находим \( B \): Из выражения внешнего угла: \[ C + B = 135^\circ \] Таким образом, при \( B = 45^\circ \), тогда \( C = 90^\circ \). Итак, углы треугольника: \[ A = 45^\circ, \quad B = 45^\circ, \quad C = 90^\circ \] Ответ: \[ 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \]