3. Внешний угол треугольника при С равен 135° . Один из углов треугольника не смежных с внешним углом равен 45° . Найдите углы треугольника.
Давайте обозначим углы треугольника как \( A \), \( B \) и \( C \). Дано, что внешний угол при вершине \( C \) равен \( 135^\circ \). Внешний угол треугольника равен сумме двух соответственных углов, не смежных с ним. Это значит, что:
\[ C + B = 135^\circ \]
Также известно, что один из углов треугольника, например угол \( A \), равен \( 45^\circ \):
\[ A = 45^\circ \]
В треугольнике сумма всех углов равна \( 180^\circ \):
\[ A + B + C = 180^\circ \]
Подставим значение угла \( A \):
\[ 45^\circ + B + C = 180^\circ \]
Теперь выразим \( B + C \):
\[ B + C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( B + C = 135^\circ \) (из суммы углов треугольника)
- \( B + C = 135^\circ \) (из внешнего угла)
Теперь мы можем выразить угол \( C \) через угол \( B \):
\[ C = 135^\circ - B \]
Теперь подставим \( C \) в уравнение \( B + C = 135^\circ \):
\[ B + (135^\circ - B) = 135^\circ \]
Это уравнение является верным для любого значения \( B \). Теперь давайте найдем значения углов, используя сумму углов треугольника. Подставим \( C \):
\[ 45^\circ + B + (135^\circ - B) = 180^\circ \]
Это также верно, так как сумма \( B \) и \( C \) равна \( 135^\circ \).
Теперь мы можем найти \( B \):
Подставим значение для \( C \) (если \( C \) впоследствии даст последнее значение). Получим:
- \( B + (135^\circ - B) + 45^\circ = 180^\circ \)
- Это говорит, что при любом \( B \) и \( C \) определяется допустимым.
Итак, находим \( B \):
Из выражения внешнего угла:
\[ C + B = 135^\circ \]
Таким образом, при \( B = 45^\circ \), тогда \( C = 90^\circ \).
Итак, углы треугольника:
\[ A = 45^\circ, \quad B = 45^\circ, \quad C = 90^\circ \]
Ответ:
\[ 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ \]
