73.4. 1) Площадь некоторого круга равна 51,6 см2. Найдите длину окружности, соответствующей этому кругу, используя микрокалькулятор. 2) На рисунке 198 изображена окружность с…
73.4. 1) Площадь некоторого круга равна 51,6 см2. Найдите длину окружности, соответствующей этому кругу, используя микрокалькулятор. 2) На рисунке 198 изображена окружность с центром О и радиусом 8 м. Меньшая из дуг, стягиваемая хордой МН, имеет градусную меру 60°. Найдите площадь заштрихо- ванной фигуры.
Давайте решим обе задачи по геометрии отдельно, начиная с первой.
1) Площадь круга
Дано:
Площадь круга \( S = 51,6 \, \text{см}^2 \).
Задача: Найти длину окружности \( C \).
Формулы:
Площадь круга выражается через радиус \( r \) по формуле:
\[
S = \pi r^2
\]
Длина окружности выражается через радиус по формуле:
\[
C = 2 \pi r
\]
Шаг 1: Найти радиус \( r \)
Используя формулу площади, выразим \( r \):
\[
r^2 = \frac{S}{\pi}
\]
Теперь подставим значение площади:
\[
r^2 = \frac{51,6}{\pi}
\]
Приблизительно \( \pi \approx 3,14 \):
\[
r^2 \approx \frac{51,6}{3,14} \approx 16,43
\]
Теперь найдём радиус:
\[
r \approx \sqrt{16,43} \approx 4,05 \, \text{см}
\]
Шаг 2: Найти длину окружности \( C \)
Теперь, зная радиус, подставим в формулу длины окружности:
\[
C = 2 \pi r \approx 2 \pi (4,05)
\]
Подставляем значение \( \pi \):
\[
C \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 4,05 \approx 25,5 \, \text{см}
\]
Ответ: Длина окружности примерно равна \( 25,5 \, \text{см} \).
2) Площадь заштрихованной фигуры в круге
Дано:
Радиус окружности \( r = 8 \, \text{м} \) и градусная мера меньшей дуги \( \angle MNO = 60° \).
Задача: Найти площадь заштрихованной фигуры.
Шаг 1: Найти площадь сектора
Площадь сектора обчисляется по формуле:
\[
S_{сектора} = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2
\]
где \( \theta \) — градусная мера угла.
Подставим данные: \[ S_{сектора} = \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot (8^2) = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 64 = \frac{64 \pi}{6} \approx 33,51 \, \text{м}^2 \]
Шаг 2: Найти площадь треугольника \( OMN \)
Площадь треугольника, образованного радиусами \( OM \) и \( ON \) и хордой \( MN \), вычисляется по формуле:
\[
S_{треугольника} = \frac{1}{2} r^2 \cdot \sin(\theta)
\]
где \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Подставим значения: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \approx 27,71 \, \text{м}^2 \]
Шаг 3: Найти площадь заштрихованной фигуры
Площадь заштрихованной фигуры равна площади сектора минус площадь треугольника:
\[
S_{заштрихованной} = S_{сектора} - S_{треугольника} \approx 33,51 - 27,71 \approx 5,8 \, \text{м}^2
\]
Ответ: Площадь заштрихованной фигуры примерно равна \( 5,8 \, \text{м}^2 \).
