Давайте решим обе задачи по геометрии отдельно, начиная с первой.
1) Площадь круга
Дано:
Площадь круга ( S = 51,6 , \text{см}^2 ).
Задача: Найти длину окружности ( C ).
Формулы:
Площадь круга выражается через радиус ( r ) по формуле:
[
S = \pi r^2
]
Длина окружности выражается через радиус по формуле:
[
C = 2 \pi r
]
Шаг 1: Найти радиус ( r )
Используя формулу площади, выразим ( r ):
[
r^2 = \frac{S}{\pi}
]
Теперь подставим значение площади:
[
r^2 = \frac{51,6}{\pi}
]
Приблизительно ( \pi \approx 3,14 ):
[
r^2 \approx \frac{51,6}{3,14} \approx 16,43
]
Теперь найдём радиус:
[
r \approx \sqrt{16,43} \approx 4,05 , \text{см}
]
Шаг 2: Найти длину окружности ( C )
Теперь, зная радиус, подставим в формулу длины окружности:
[
C = 2 \pi r \approx 2 \pi (4,05)
]
Подставляем значение ( \pi ):
[
C \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 4,05 \approx 25,5 , \text{см}
]
Ответ: Длина окружности примерно равна ( 25,5 , \text{см} ).
2) Площадь заштрихованной фигуры в круге
Дано:
Радиус окружности ( r = 8 , \text{м} ) и градусная мера меньшей дуги ( \angle MNO = 60° ).
Задача: Найти площадь заштрихованной фигуры.
Шаг 1: Найти площадь сектора
Площадь сектора обчисляется по формуле:
[
S_{сектора} = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2
]
где ( \theta ) — градусная мера угла.
Подставим данные:
[
S_{сектора} = \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot (8^2) = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 64 = \frac{64 \pi}{6} \approx 33,51 , \text{м}^2
]
Шаг 2: Найти площадь треугольника ( OMN )
Площадь треугольника, образованного радиусами ( OM ) и ( ON ) и хордой ( MN ), вычисляется по формуле:
[
S_{треугольника} = \frac{1}{2} r^2 \cdot \sin(\theta)
]
где ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Подставим значения:
[
S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \approx 27,71 , \text{м}^2
]
Шаг 3: Найти площадь заштрихованной фигуры
Площадь заштрихованной фигуры равна площади сектора минус площадь треугольника:
[
S_{заштрихованной} = S_{сектора} - S_{треугольника} \approx 33,51 - 27,71 \approx 5,8 , \text{м}^2
]
Ответ: Площадь заштрихованной фигуры примерно равна ( 5,8 , \text{м}^2 ).
