Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 7 : 8. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим свойства острых углов в прямоугольном треугольнике и воспользуемся данными о пропорциях.
Определение углов:
Обозначим острые углы прямоугольного треугольника как \( x \) и \( y \). По условию задачи известно, что они относятся как \( 7 : 8 \). Это можно записать как: \[ \frac{x}{y} = \frac{7}{8} \] Это значит, что \( x = \frac{7}{8}y \).Сумма углов:
В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам: \[ x + y = 90^\circ \]Подставляем выражение для одного из углов:
Теперь подставим \( x \) из первого уравнения во второе: \[ \frac{7}{8}y + y = 90^\circ \] Приведём уравнение к общему знаменателю: \[ \frac{7}{8}y + \frac{8}{8}y = 90^\circ \] Это можно упростить: \[ \frac{15}{8}y = 90^\circ \]Решаем для \( y \):
Умножим обе стороны на 8: \[ 15y = 720^\circ \] Теперь разделим обе стороны на 15: \[ y = \frac{720^\circ}{15} = 48^\circ \]Находим \( x \):
Используем значение \( y \) для нахождения \( x \): \[ x = 90^\circ - y = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ \]Находим больший острый угол:
У нас есть два угла: \( x = 42^\circ \) и \( y = 48^\circ \). Больший острый угол — это \( 48^\circ \).
Таким образом, больший острый угол прямоугольного треугольника равен:
\[ \boxed{48^\circ} \]
