1. Решите систему уравнений: { 2х + у = 7, x²- y = 1. • 2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. •3. Изобразите на…
1. Решите систему уравнений: { 2х + у = 7, x²- y = 1. • 2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. •3. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств: х+у²≤ 9. у ≤ х + 1. 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х² + 4 и прямой x+y = 6. 5. Решите систему уравнений: 2y-x=7, x2-x-y²= 20.
Давайте разберем вашу задачу и решим каждую из предложенных вами задач по порядку.
Задача 1: Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x^2 - y = 1 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \( y \) из первого уравнения.
Из первого уравнения:
\[ y = 7 - 2x \]
Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение.
Подставим найденное значение \( y \) во второе уравнение:
\[ x^2 - (7 - 2x) = 1 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
Раскроем скобки и соберем все в одну сторону:
\[ x^2 + 2x - 7 - 1 = 0 \]
\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь используем формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Шаг 5: Найдем соответствующие значения \( y \).
Подставляем значения \( x \) в выражение для \( y \):
- Для \( x_1 = 2 \):
\[ y = 7 - 2 \cdot 2 = 3 \]
- Для \( x_2 = -4 \):
\[ y = 7 - 2 \cdot (-4) = 15 \]
Ответ:
Система уравнений имеет два решения:
\[ (2, 3) \quad \text{и} \quad (-4, 15) \]
Задача 2: Периметр прямоугольника равен 28 м, площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.
Шаг 1: Обозначим стороны.
Обозначим длину прямоугольника как \( a \), а ширину как \( b \).
Шаг 2: Запишем уравнения.
Имеем два уравнения:
- Периметр: \( 2a + 2b = 28 \) (т.е. \( a + b = 14 \))
- Площадь: \( a \cdot b = 40 \)
Шаг 3: Выразим \( b \).
Из первого уравнения:
\[ b = 14 - a \]
Шаг 4: Подставим в второе уравнение.
Подставим \( b \):
\[ a(14 - a) = 40 \]
Шаг 5: Упростим уравнение.
\[ 14a - a^2 = 40 \\ -a^2 + 14a - 40 = 0 \]
Умножим на -1:
\[ a^2 - 14a + 40 = 0 \]
Шаг 6: Найдем дискриминант.
\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \]
Шаг 7: Найдите корни.
\[ a = \frac{14 \pm 6}{2} \] \[ a_1 = 10, \quad a_2 = 4 \]
Шаг 8: Найдем соответствующее значение \( b \).
- Если \( a = 10 \), то \( b = 4 \).
- Если \( a = 4 \), то \( b = 10 \).
Ответ:
Стороны прямоугольника: \( 4 \, \text{м} \) и \( 10 \, \text{м} \).
Задача 3: Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
\[ \begin{cases} x + y^2 \leq 9 \\ y \leq x + 1 \end{cases} \]
Шаг 1: Решим каждое неравенство.
\( y^2 \leq 9 - x \)
- Это определяет область, ограниченную параболой \( y = \sqrt{9-x} \) и \( y = -\sqrt{9-x} \).
- Условие определяет "внутрь" параболы.
\( y \leq x + 1 \)
- Это прямая, которая имеет наклон 1 и пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 1) \).
Шаг 2: Построение графиков.
В графическом построении мы должны выделить область, которая удовлетворяет обоим условиям. Это будет область под прямой и внутри параболы.
Задача 4: Найдите координаты точек пересечения параболы \( y = x^2 + 4 \) и прямой \( x + y = 6 \).
Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \).
Из уравнения прямой:
\[ y = 6 - x \]
Шаг 2: Подставим во уравнение параболы.
\[ 6 - x = x^2 + 4 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
Шаг 4: Находим дискриминант.
\[ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение.
\[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 \]
Шаг 6: Найдем соответствующее значение \( y \).
- Для \( x_1 = 1 \):
\[ y = 6 - 1 = 5 \]
- Для \( x_2 = -2 \):
\[ y = 6 - (-2) = 8 \]
Ответ:
Координаты точек пересечения:
\[ (1, 5) \quad \text{и} \quad (-2, 8) \]
Задача 5: Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} 2y - x = 7 \\ x^2 - x - y^2 = 20 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \( x \).
Из первого уравнения:
\[ x = 2y - 7 \]
Шаг 2: Подставим \( x \) во второе уравнение.
Подставляем:
\[ (2y - 7)^2 - (2y - 7) - y^2 = 20 \]
Шаг 3: Упростим уравнение.
Раскроем скобки:
\[ 4y^2 - 28y + 49 - 2y + 7 - y^2 = 20 \] \[ 3y^2 - 30y + 36 = 0 \]
Шаг 4: Найдем дискриминант.
\[ D = 30^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 900 - 432 = 468 \]
Шаг 5: Найти корни.
Корни:
\[ y = \frac{30 \pm \sqrt{468}}{6} \]
Шаг 6: Подставим обратно для \( x \).
Для каждого значения \( y \) найдем соответствующее \( x \).
Ответ:
Система уравнений имеет два (или более) решений, требующих вычислений через корни.
Если у вас остались вопросы или вам нужно подробное объяснение по каким-то другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
