Реши

Давайте разберём задачи по очереди.

1. Дано, что для четырёхугольников \(ABCD\) и \(A'B'C'D'\), произведено равноотдаленное преобразование. Это значит, что для каждой пары соответствующих вершин выполняется \(A'A = B'B = C'C = D'D\).

Если их диагонали пересекаются в точках \(O\) и \(O'\) соответственно, значит точки \(O\) и \(O'\) также будут равноотдалены от каждого из этих четырёх углов, следовательно \(OO' = A'A = B'B = C'C = D'D\).

2. Для сторон трапеции \(ABCD\) медиана проходит через середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Это условие всегда выполняется, так как для любой трапеции средняя линия (медиана) соединяет средние точки диагоналей.

3. Даны векторы \( \vec{a} = 3\vec{i} + \vec{j} \) и \( \vec{b} = 2\vec{i} + 2\vec{j} \). Найдём скалярное произведение.

Формула скалярного произведения:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \times b_x + a_y \times b_y \]

Где \(a_x\), \(a_y\) и \(b_x\), \(b_y\) - компоненты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 1 \times 2 = 6 + 2 = 8 \]

4. Для нахождения длины вектора \( \vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b}\), сначала найдите разность векторов.

Сначала размножьте вектор \( \vec{b} \): \[ 2\vec{b} = 2(2\vec{i} + 2\vec{j}) = 4\vec{i} + 4\vec{j} \]

Теперь найдите разность векторов: \[ \vec{u} = (3\vec{i} + \vec{j}) - (4\vec{i} + 4\vec{j}) = -\vec{i} - 3\vec{j} \]

Теперь найдём длину: \[ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

5. Бета векторов \( \vec{u} = \vec{a} - 2\vec{b}\) и \( \vec{v} = 3\vec{a} - 5\vec{b}\):

Векторы коллинеарны, если один является линейной комбинацией другого.

Проверим коэффициенты при \( \vec{i} \) и \( \vec{j} \) для \( \vec{u} \):

\[ \vec{u} = -\vec{i} - 3\vec{j} \quad и \quad \vec{v} = 9\vec{i} - 13\vec{j} \]

Если они пропорциональны, то

\[ -\lambda = 9 \quad \text{и} \quad -3\lambda = -13 \]

Из первой: \[ \lambda = -9 \]

Из второй: \[ 3\lambda = 13 \implies \lambda = \frac{13}{3} \]

Такое значение не существует, следовательно векторы не линейно зависимы.

Анализируйте задачу подробно, чтобы лучше понять основы работы с векторами.