найти промежуток возвышается и убывания exte функции y=x⁵+5x⁴+5x³-8
Чтобы понять, как найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = x^5 + 5x^4 + 5x^3 - 8 \), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдите производную функции
Для начала нам необходимо найти производную функции \( y' \), так как это поможет определить, где функция возрастает или убывает.
\[ y = x^5 + 5x^4 + 5x^3 - 8 \]
Найдём \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(8) \]
Считая производные каждого слагаемого, получаем:
\[ y' = 5x^4 + 20x^3 + 15x^2 \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Для определения критических точек, приравняем производную к нулю:
\[ 5x^4 + 20x^3 + 15x^2 = 0 \]
П Factor out common factor (первый шаг):
\[ 5x^2(x^2 + 4x + 3) = 0 \]
Теперь можем решить это уравнение. Сначала решаем \( 5x^2 = 0 \):
\[ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]
Затем решаем квадратное уравнение \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{-6}{2} = -3 \]
Итак, критические точки: \( x = 0, x = -1, x = -3 \).
Шаг 3: Определите интервалы
Теперь мы имеем критические точки, и можем определить интервалы:
- \( (-\infty, -3) \)
- \( (-3, -1) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (0, +\infty) \)
Шаг 4: Определение знака производной
Теперь нужно проверить знак производной в каждом из найденных интервалов. Выберем тестовые точки в каждом интервале:
Для интервала \( (-\infty, -3) \), например, \( x = -4 \): \[ y'(-4) = 5(-4)^4 + 20(-4)^3 + 15(-4)^2 = 5 \cdot 256 - 20 \cdot 64 + 15 \cdot 16 > 0 \quad (\text{положительное, функция возрастает}) \]
Для интервала \( (-3, -1) \), например, \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 5(-2)^4 + 20(-2)^3 + 15(-2)^2 = 5 \cdot 16 - 20 \cdot 8 + 15 \cdot 4 < 0 \quad (\text{отрицательное, функция убывает}) \]
Для интервала \( (-1, 0) \), например, \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 5(-0.5)^4 + 20(-0.5)^3 + 15(-0.5)^2 = 5 \cdot \frac{1}{16} - 20 \cdot \frac{-1}{8} + 15 \cdot \frac{1}{4} > 0 \quad (\text{положительное, функция возрастает}) \]
Для интервала \( (0, +\infty) \), например, \( x = 1 \): \[ y'(1) = 5(1)^4 + 20(1)^3 + 15(1)^2 > 0 \quad (\text{положительное, функция возрастает}) \]
Шаг 5: Подведение итогов
Теперь можем подвести итоги:
- Функция возрастает на интервалах: \( (-\infty, -3) \), \( (-1, 0) \), \( (0, +\infty) \)
- Функция убывает на интервале: \( (-3, -1) \)
Это и есть решение задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
