Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время и равна р= 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Бернулли, а именно биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество узлов (10), и мы знаем вероятность успеха (безотказной работы) для каждого узла.

1. Определим параметры задачи:

   • Общее количество узлов, \( n = 10 \)
   • Вероятность безотказной работы узла, \( p = 0.8 \)
   • Вероятность выхода узла из строя, \( q = 1 - p = 0.2 \)
   • Количество узлов, которые выходят из строя, \( k = 4 \)

2. Формула биномиального распределения: Вероятность того, что из \( n \) узлов откажут ровно \( k \) узлов, вычисляется по формуле биномиального распределения:

   \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

   где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить как:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

3. Подставим наши значения в формулу:

   • Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \):

     \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

   • Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:

     \[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

     \[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^{10-4} \cdot (0.2)^4 \]

     \[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^4 \]

4. Вычислим \( (0.8)^6 \) и \( (0.2)^4 \):

   • \( (0.8)^6 = 0.262144 \)
   • \( (0.2)^4 = 0.0016 \)

5. Подставим полученные значения:

   \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.262144 \cdot 0.0016 \]

   \[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0004194304 \approx 0.088 \text{ (около 0.088 или 8.8\%)} \]

6. Ответ: Вероятность того, что откажут ровно 4 узла из 10, составляет примерно 0.088 или 8.8%.