X²-9/(x²-1)*(x²-4) представте в виде суммы простейших дробей

Чтобы представить дробь \(\frac{x^2 - 9}{(x^2 - 1)(x^2 - 4)}\) в виде суммы простейших дробей, давайте сначала упростим дробь и определим ее разложение на простейшие дроби. ### Шаг 1: Раскроем знаменатели Знаменатель можно разложить на линейные множители: - \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) - \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \) Таким образом, полное разложение знаменателя будет: \[ (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) \] Теперь наша дробь выглядит так: \[ \frac{x^2 - 9}{(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)} \] ### Шаг 2: Разложение на простейшие дроби Предположим, что можно представить дробь в виде суммы простейших дробей: \[ \frac{x^2 - 9}{(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 2} + \frac{D}{x + 2} \] Где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — это константы, которые мы должны найти. ### Шаг 3: Приведение к общему знаменателю Чтобы упростить, мы умножим обе стороны уравнения на знаменатель \((x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\): \[ x^2 - 9 = A(x + 1)(x - 2)(x + 2) + B(x - 1)(x - 2)(x + 2) + C(x - 1)(x + 1)(x + 2) + D(x - 1)(x + 1)(x - 2) \] ### Шаг 4: Выбор значений для упрощения Теперь нам нужно выбрать некоторые значения \(x\), чтобы упростить уравнение. 1. \(x = 1\): \[ 1^2 - 9 = A(1 + 1)(1 - 2)(1 + 2) \implies -8 = A(2)(-1)(3) \implies -8 = -6A \implies A = \frac{4}{3} \] 2. \(x = -1\): \[ (-1)^2 - 9 = B(-1 - 1)(-1 - 2)(-1 + 2) \implies -8 = B(-2)(-3)(1) \implies -8 = 6B \implies B = -\frac{4}{3} \] 3. \(x = 2\): \[ 2^2 - 9 = C(2 - 1)(2 + 1)(2 + 2) \implies -5 = C(1)(3)(4) \implies -5 = 12C \implies C = -\frac{5}{12} \] 4. \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 9 = D(-2 - 1)(-2 + 1)(-2 - 2) \implies -5 = D(-3)(-1)(-4) \implies -5 = 12D \implies D = \frac{5}{12} \] Теперь у нас есть значения: - \(A = \frac{4}{3}\) - \(B = -\frac{4}{3}\) - \(C = -\frac{5}{12}\) - \(D = \frac{5}{12}\) ### Шаг 5: Запишем окончательное разложение Теперь мы можем записать дробь в виде суммы простейших дробей: \[ \frac{x^2 - 9}{(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)} = \frac{4/3}{x - 1} + \frac{-4/3}{x + 1} + \frac{-5/12}{x - 2} + \frac{5/12}{x + 2} \] Таким образом, оригинальная дробь представлена в виде суммы простейших дробей! Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось неясным, не стесняйтесь спрашивать!