Найти сумму корней уравнения (x-3)⁴+4(x-3)²=5

Для решения уравнения \((x-3)^4 + 4(x-3)^2 = 5\) начнем с упрощения переменных. 1. **Вводим замену переменной.** Пусть \(y = (x - 3)^2\). Тогда уравнение перепишется как: \[ y^2 + 4y - 5 = 0 \] Теперь это стандартное квадратное уравнение. 2. **Решаем квадратное уравнение.** Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\). Подставляем значения в формулу: \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] Теперь находим два корня: - Первый корень: \[ y_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] - Второй корень: \[ y_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] 3. **Возвращаемся к переменной x.** Поскольку \(y = (x - 3)^2\), теперь подставляем корни: - Для \(y_1 = 1\): \[ (x - 3)^2 = 1 \] Извлекаем корень: \[ x - 3 = \pm 1 \implies x = 4 \quad \text{или} \quad x = 2 \] - Для \(y_2 = -5\): \((x - 3)^2 = -5\) не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. 4. **Находим сумму корней.** У нас есть два действительных корня \(x = 2\) и \(x = 4\). Теперь найдём их сумму: \[ 2 + 4 = 6 \] Таким образом, сумма корней уравнения \((x - 3)^4 + 4(x - 3)^2 = 5\) равна **6**.