В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, рёбра AB, AD и АА, равны 4 см, 3 см и /11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD, и CBD1.

Для решения задачи о нахождении угла между плоскостями в прямоугольном параллелепипеде, давайте начнем с определения координат точек, а затем найдем необходимые векторы и, наконец, вычислим угол между плоскостями.

1. Определение координат: Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA,B,C,D, где:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(4, 0, 0) \) (AB = 4 см)
   • \( D(0, 3, 0) \) (AD = 3 см)
   • \( C(4, 3, 0) \) (по прямой DC)
   • \( A1(0, 0, 11) \) (отметим, что AA1 = 11 см)
   • \( B1(4, 0, 11) \)
   • \( D1(0, 3, 11) \)
   • \( C1(4, 3, 11) \)

2. Определение векторов: Плоскости ABD и CBD1 образованы векторами:

   • Для плоскости ABD:
     • Вектор \( \vec{AB} = B - A = (4, 0, 0) \)
     • Вектор \( \vec{AD} = D - A = (0, 3, 0) \)
   • Для плоскости CBD1:
     • Вектор \( \vec{CB} = B - C = (0, 3, 0) \)
     • Вектор \( \vec{CD1} = D1 - C = (0, 0, 11) \)

3. Вычисление нормалей: Для определения угла между плоскостями, найдем нормали к этим плоскостям.

   Нормаль к плоскости ABD: \( \vec{n1} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (4, 0, 0) \times (0, 3, 0) = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, 0 \cdot 0 - 4 \cdot 0, 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 12) \)

   Нормаль к плоскости CBD1: \( \vec{n2} = \vec{CB} \times \vec{CD1} = (0, 3, 0) \times (0, 0, 11) = (3 \cdot 11 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 11, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) = (33, 0, 0) \)

4. Вычисление угла между плоскостями: Угол между двумя векторами можно найти с использованием скалярного произведения: \[ \vec{n1} \cdot \vec{n2} = |\vec{n1}| |\vec{n2}| \cos(\theta) \]

   Нормы векторов: \[ |\vec{n1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12 \] \[ |\vec{n2}| = \sqrt{33^2 + 0^2 + 0^2} = 33 \]

   Скалярное произведение: \[ \vec{n1} \cdot \vec{n2} = 0 \cdot 33 + 0 \cdot 0 + 12 \cdot 0 = 0 \]

   Теперь подставляем в формулу: \[ 0 = 12 \cdot 33 \cdot \cos(\theta) \]

   Это означает, что \( \cos(\theta) = 0 \), и следовательно угол \( \theta \) равен \( 90^\circ \).

Ответ: Угол между плоскостями ABD и CBD1 равен \( 90^\circ \).