В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, рёбра AB, AD и АА, равны 4 см, 3 см и /11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD, и CBD1.
Для решения задачи о нахождении угла между плоскостями в прямоугольном параллелепипеде, давайте начнем с определения координат точек, а затем найдем необходимые векторы и, наконец, вычислим угол между плоскостями.
1. **Определение координат:**
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA,B,C,D, где:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(4, 0, 0) \) (AB = 4 см)
- \( D(0, 3, 0) \) (AD = 3 см)
- \( C(4, 3, 0) \) (по прямой DC)
- \( A1(0, 0, 11) \) (отметим, что AA1 = 11 см)
- \( B1(4, 0, 11) \)
- \( D1(0, 3, 11) \)
- \( C1(4, 3, 11) \)
2. **Определение векторов:**
Плоскости ABD и CBD1 образованы векторами:
- Для плоскости ABD:
- Вектор \( \vec{AB} = B - A = (4, 0, 0) \)
- Вектор \( \vec{AD} = D - A = (0, 3, 0) \)
- Для плоскости CBD1:
- Вектор \( \vec{CB} = B - C = (0, 3, 0) \)
- Вектор \( \vec{CD1} = D1 - C = (0, 0, 11) \)
3. **Вычисление нормалей:**
Для определения угла между плоскостями, найдем нормали к этим плоскостям.
Нормаль к плоскости ABD:
\( \vec{n1} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (4, 0, 0) \times (0, 3, 0) = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, 0 \cdot 0 - 4 \cdot 0, 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 12) \)
Нормаль к плоскости CBD1:
\( \vec{n2} = \vec{CB} \times \vec{CD1} = (0, 3, 0) \times (0, 0, 11) = (3 \cdot 11 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 11, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) = (33, 0, 0) \)
4. **Вычисление угла между плоскостями:**
Угол между двумя векторами можно найти с использованием скалярного произведения:
\[
\vec{n1} \cdot \vec{n2} = |\vec{n1}| |\vec{n2}| \cos(\theta)
\]
Нормы векторов:
\[
|\vec{n1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12
\]
\[
|\vec{n2}| = \sqrt{33^2 + 0^2 + 0^2} = 33
\]
Скалярное произведение:
\[
\vec{n1} \cdot \vec{n2} = 0 \cdot 33 + 0 \cdot 0 + 12 \cdot 0 = 0
\]
Теперь подставляем в формулу:
\[
0 = 12 \cdot 33 \cdot \cos(\theta)
\]
Это означает, что \( \cos(\theta) = 0 \), и следовательно угол \( \theta \) равен \( 90^\circ \).
**Ответ:** Угол между плоскостями ABD и CBD1 равен \( 90^\circ \).
