Для решения данной задачи сравним время, необходимое для прохождения одного и того же расстояния в двух случаях: по реке (где есть течение) и по озеру (где вода стоит).
Определим начальные условия:
- Пусть скорость моторной лодки в стоячей воде равна ( v ) (км/ч).
- Пусть скорость течения реки равна ( c ) (км/ч).
- Тогда скорость лодки против течения равна ( v - c ) (км/ч), а по течению — ( v + c ) (км/ч).
- Пусть расстояние, которое необходимо пройти, равно ( d ) (км).
1. Время в реке
Когда лодка движется по течению (в одну сторону), она быстро проходит расстояние ( d ):
[ t_1 = \frac{d}{v + c} ]
Когда лодка движется против течения (обратно), она медленно проходит то же расстояние ( d ):
[ t_2 = \frac{d}{v - c} ]
Общее время ( T_{река} ) на путешествие туда и обратно по реке:
[
T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{d}{v + c} + \frac{d}{v - c}
]
Сложим дроби:
[
T_{река} = d \left( \frac{1}{v + c} + \frac{1}{v - c} \right) = d \left( \frac{(v - c) + (v + c)}{(v + c)(v - c)} \right) = d \left( \frac{2v}{v^2 - c^2} \right)
]
Таким образом,
[
T_{река} = \frac{2dv}{v^2 - c^2}
]
2. Время в озере
Так как вода в озере стоит, скорость лодки равна ( v ) как в одну, так и в другую сторону. Время ( T_{озеро} ) на путешествие туда и обратно:
[
T_{озеро} = 2 \cdot \frac{d}{v} = \frac{2d}{v}
]
3. Сравнение времен
Теперь сравним времена:
- Общее время в реке: ( T_{река} = \frac{2dv}{v^2 - c^2} )
- Общее время в озере: ( T_{озеро} = \frac{2d}{v} )
Сравниваем эти два времени:
[
\frac{2dv}{v^2 - c^2} \quad \text{и} \quad \frac{2d}{v}
]
Чтобы провести сравнение, упростим:
[
\frac{dv}{v^2 - c^2} \quad \text{и} \quad \frac{1}{v}
]
Перепишем неравенство:
[
\frac{dv}{v^2 - c^2} < \frac{1}{v} \quad \Rightarrow \quad dv^2 < v^2 - c^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 < 0
]
(данное неравенство является неверным при любом положительном c, таким образом, неравенство не выполняется.)
Вывод
Лодка затратит меньше времени, чтобы пройти одно и то же расстояние в озере, поскольку время, задерживающееся в реке (из-за изменения скорости на разных участках), всегда будет больше, чем во время движения по стоячей воде.
Ответ
Лодка затратит меньше времени в озере, чем в реке.
