Против течения моторная лодка движется медленнее, чем в стоячей воде, зато по течению - быстрее. Где затратит меньше времени, чтобы пройти одно и то же расстояние туда и обратно -…

Для решения данной задачи сравним время, необходимое для прохождения одного и того же расстояния в двух случаях: по реке (где есть течение) и по озеру (где вода стоит).

Определим начальные условия:

• Пусть скорость моторной лодки в стоячей воде равна \( v \) (км/ч).
• Пусть скорость течения реки равна \( c \) (км/ч).
• Тогда скорость лодки против течения равна \( v - c \) (км/ч), а по течению — \( v + c \) (км/ч).
• Пусть расстояние, которое необходимо пройти, равно \( d \) (км).

1. Время в реке

Когда лодка движется по течению (в одну сторону), она быстро проходит расстояние \( d \): \[ t_1 = \frac{d}{v + c} \]

Когда лодка движется против течения (обратно), она медленно проходит то же расстояние \( d \): \[ t_2 = \frac{d}{v - c} \]

Общее время \( T_{река} \) на путешествие туда и обратно по реке: \[ T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{d}{v + c} + \frac{d}{v - c} \]

Сложим дроби: \[ T_{река} = d \left( \frac{1}{v + c} + \frac{1}{v - c} \right) = d \left( \frac{(v - c) + (v + c)}{(v + c)(v - c)} \right) = d \left( \frac{2v}{v^2 - c^2} \right) \] Таким образом, \[ T_{река} = \frac{2dv}{v^2 - c^2} \]

2. Время в озере

Так как вода в озере стоит, скорость лодки равна \( v \) как в одну, так и в другую сторону. Время \( T_{озеро} \) на путешествие туда и обратно: \[ T_{озеро} = 2 \cdot \frac{d}{v} = \frac{2d}{v} \]

3. Сравнение времен

Теперь сравним времена:

• Общее время в реке: \( T_{река} = \frac{2dv}{v^2 - c^2} \)
• Общее время в озере: \( T_{озеро} = \frac{2d}{v} \)

Сравниваем эти два времени: \[ \frac{2dv}{v^2 - c^2} \quad \text{и} \quad \frac{2d}{v} \]

Чтобы провести сравнение, упростим: \[ \frac{dv}{v^2 - c^2} \quad \text{и} \quad \frac{1}{v} \]

Перепишем неравенство: \[ \frac{dv}{v^2 - c^2} < \frac{1}{v} \quad \Rightarrow \quad dv^2 < v^2 - c^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 < 0 \] (данное неравенство является неверным при любом положительном c, таким образом, неравенство не выполняется.)

Вывод

Лодка затратит меньше времени, чтобы пройти одно и то же расстояние в озере, поскольку время, задерживающееся в реке (из-за изменения скорости на разных участках), всегда будет больше, чем во время движения по стоячей воде.

Ответ

Лодка затратит меньше времени в озере, чем в реке.