Найди сумму членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно, если известно, что a 1 = 15 a 1 =15 и d = 17 d=17
Чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем эту задачу подробно.
1. Определим формулу для n-го члена арифметической прогрессии.
В общем случае, n-ый член арифметической прогрессии (AP) определяется формулой:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
где:
- \( a_n \) — n-ый член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии,
- \( n \) — номер члена.
2. Подсчитаем 10-й и 20-й члены.
Мы знаем, что:
- \( a_1 = 15 \)
- \( d = 17 \)
Теперь найдем 10-й и 20-й члены.
Для \( a_{10} \):
\[ a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d = 15 + 9 \cdot 17 \]
Вычисляем:
\[ 9 \cdot 17 = 153 \] \[ a_{10} = 15 + 153 = 168 \]
Теперь найдем \( a_{20} \):
\[ a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d = 15 + 19 \cdot 17 \]
Вычисляем:
\[ 19 \cdot 17 = 323 \] \[ a_{20} = 15 + 323 = 338 \]
3. Найдем сумму членов с 10-го по 20-й.
Сумма (S) n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
Где:
- \( n \) — количество членов суммы,
- \( a_1 \) — первый член,
- \( a_n \) — последний член.
В нашем случае:
- Первым членом будет \( a_{10} = 168 \),
- Последним членом будет \( a_{20} = 338 \),
- \( n = 20 - 10 + 1 = 11 \) (мы включаем оба конца).
Теперь подставим значение в формулу:
\[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (168 + 338) \]
Вычислим сумму внутри скобок:
\[ 168 + 338 = 506 \]
Теперь подставим обратно:
\[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 506 = 11 \cdot 253 = 2783 \]
4. Ответ.
Сумма членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно равна \( \boxed{2783} \).
