Чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем эту задачу подробно.
1. Определим формулу для n-го члена арифметической прогрессии.
В общем случае, n-ый член арифметической прогрессии (AP) определяется формулой:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где:
- ( a_n ) — n-ый член прогрессии,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии,
- ( n ) — номер члена.
2. Подсчитаем 10-й и 20-й члены.
Мы знаем, что:
Теперь найдем 10-й и 20-й члены.
Для ( a_{10} ):
[
a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d = 15 + 9 \cdot 17
]
Вычисляем:
[
9 \cdot 17 = 153
]
[
a_{10} = 15 + 153 = 168
]
Теперь найдем ( a_{20} ):
[
a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d = 15 + 19 \cdot 17
]
Вычисляем:
[
19 \cdot 17 = 323
]
[
a_{20} = 15 + 323 = 338
]
3. Найдем сумму членов с 10-го по 20-й.
Сумма (S) n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Где:
- ( n ) — количество членов суммы,
- ( a_1 ) — первый член,
- ( a_n ) — последний член.
В нашем случае:
- Первым членом будет ( a_{10} = 168 ),
- Последним членом будет ( a_{20} = 338 ),
- ( n = 20 - 10 + 1 = 11 ) (мы включаем оба конца).
Теперь подставим значение в формулу:
[
S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (168 + 338)
]
Вычислим сумму внутри скобок:
[
168 + 338 = 506
]
Теперь подставим обратно:
[
S_{11} = \frac{11}{2} \cdot 506 = 11 \cdot 253 = 2783
]
4. Ответ.
Сумма членов арифметической прогрессии с десятого по двадцатый включительно равна ( \boxed{2783} ).
