Для начала найдем площадь основания прямой призмы, которая является прямоугольным треугольником с катетами 15 см и 20 см.
Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
где ( a ) и ( b ) — катеты треугольника. Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 15 , \text{см} \times 20 , \text{см} = \frac{1}{2} \times 300 , \text{см}^2 = 150 , \text{см}^2
]
Теперь, раз основание призмы равно площади боковой грани, предположим, что высота призмы ( h ) такая, что площадь большей боковой грани также равна 150 см². Так как боковая грань имеет форму прямоугольника, площадь боковой грани можно выразить как ( S_{\text{бок}} = a \times h ), где ( a ) — длина ребра, соответствующего основанию, и ( h ) — высота призмы. Для нашей задачи можно взять одно из оснований боковой грани равным одной из сторон треугольника (например, 20 см), поскольку по условию она равновелика основанию.
Таким образом, у нас:
[
S_{\text{бок}} = 20 \times h = 150 \implies h = \frac{150}{20} = 7.5 , \text{см}
]
Теперь подсчитаем площади боковых граней. У нас 3 боковые грани: две с размерами 15 см и 7.5 см, и одна с размерами 20 см и 7.5 см.
Две боковые грани ( 15 \times 7.5 ):
[
S_1 = 15 , \text{см} \times 7.5 , \text{см} = 112.5 , \text{см}^2
]
Площадь двух таких граней:
[
S_{\text{бок1}} = 2 \times 112.5 = 225 , \text{см}^2
]
Одна боковая грань ( 20 \times 7.5 ):
[
S_2 = 20 , \text{см} \times 7.5 , \text{см} = 150 , \text{см}^2
]
Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:
[
S_{\text{бок}} = S_{\text{бок1}} + S_2 = 225 , \text{см}^2 + 150 , \text{см}^2 = 375 , \text{см}^2
]
Теперь рассчитаем полную поверхность призмы, которая состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований:
[
S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = 375 , \text{см}^2 + 2 \times 150 , \text{см}^2 = 375 + 300 = 675 , \text{см}^2
]
Таким образом, площади боковой и полной поверхностей призмы равны:
- Площадь боковой поверхности: ( 375 , \text{см}^2 )
- Площадь полной поверхности: ( 675 , \text{см}^2 )
