Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и ос- нование призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей…
Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и ос- нование призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы.
Для начала найдем площадь основания прямой призмы, которая является прямоугольным треугольником с катетами 15 см и 20 см.
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 15 \, \text{см} \times 20 \, \text{см} = \frac{1}{2} \times 300 \, \text{см}^2 = 150 \, \text{см}^2 \]
Теперь, раз основание призмы равно площади боковой грани, предположим, что высота призмы \( h \) такая, что площадь большей боковой грани также равна 150 см². Так как боковая грань имеет форму прямоугольника, площадь боковой грани можно выразить как \( S_{\text{бок}} = a \times h \), где \( a \) — длина ребра, соответствующего основанию, и \( h \) — высота призмы. Для нашей задачи можно взять одно из оснований боковой грани равным одной из сторон треугольника (например, 20 см), поскольку по условию она равновелика основанию.
Таким образом, у нас:
\[ S_{\text{бок}} = 20 \times h = 150 \implies h = \frac{150}{20} = 7.5 \, \text{см} \]
Теперь подсчитаем площади боковых граней. У нас 3 боковые грани: две с размерами 15 см и 7.5 см, и одна с размерами 20 см и 7.5 см.
Две боковые грани \( 15 \times 7.5 \): \[ S_1 = 15 \, \text{см} \times 7.5 \, \text{см} = 112.5 \, \text{см}^2 \] Площадь двух таких граней: \[ S_{\text{бок1}} = 2 \times 112.5 = 225 \, \text{см}^2 \]
Одна боковая грань \( 20 \times 7.5 \): \[ S_2 = 20 \, \text{см} \times 7.5 \, \text{см} = 150 \, \text{см}^2 \]
Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = S_{\text{бок1}} + S_2 = 225 \, \text{см}^2 + 150 \, \text{см}^2 = 375 \, \text{см}^2 \]
Теперь рассчитаем полную поверхность призмы, которая состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований:
\[ S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = 375 \, \text{см}^2 + 2 \times 150 \, \text{см}^2 = 375 + 300 = 675 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площади боковой и полной поверхностей призмы равны:
- Площадь боковой поверхности: \( 375 \, \text{см}^2 \)
- Площадь полной поверхности: \( 675 \, \text{см}^2 \)
