Для решения данной задачи давайте сначала разберёмся, как именно происходит окрашивание деревянного куба, и сколько мелких кубиков мы получаем после деления основного куба.
Шаг 1: Деление куба
Куб имеет 8 вершин. Каждое смежное ребро (а у куба их 12) делят на 6 равных частей. Поэтому, если мы делим каждое ребро на 6 частей, то на каждом ребре будет 7 точек (по 6 делений дают 7 точек, включая концы).
Если мы делим куб на мелкие кубики, мы фактически разбиваем его на 6 частей по каждой оси. Это означает, что мы получаем (6 \times 6 \times 6 = 216) маленьких кубиков.
Шаг 2: Определение окрашенных граней
Теперь давайте выясним, сколько из этих маленьких кубиков имеют 1 грань окрашенной, а сколько — 3 грани.
Кубики с 1 окрашенной гранью: Эти кубики находятся на центрах границ куба. В каждом из 6 граней куба есть (4) такие кубика, так как каждый из них находится на центрах граней и не касается рёбер. То есть, всего таких кубиков:
[
6 \times 4 = 24
]
Кубики с 3 окрашенными гранями: Такие кубики находятся в углах основного куба. У нас 8 углов, и каждый из уголков будет таким кубиком, который окрашен с 3 граней.
Шаг 3: Подсчёт вероятностей
Теперь, когда мы знаем, что у нас есть 24 кубика с одной окрашенной гранью и 8 кубиков с тремя окрашенными гранями, давайте посчитаем вероятность того, что после случайного извлечения двух кубиков один будет с 1 окрашенной гранью, а другой с 3.
Число способов выбрать 1 кубик с 1 окрашенной гранью и 1 кубик с 3 окрашенными гранями:
[
24 \text{ (с 1 окрашенной гранью)} \times 8 \text{ (с 3 окрашенными гранями)} = 192
]
Теперь давайте подсчитаем общее число способов выбрать любые 2 кубика из 216:
[
\binom{216}{2} = \frac{216 \times 215}{2} = 23220
]
Шаг 4: Вычисление вероятности
Теперь вероятность того, что один кубик будет с 1 окрашенной гранью, а другой с 3 окрашенными гранями:
[
P = \frac{192}{23220}
]
Упрощаем дробь:
[
P \approx 0.00826
]
Итак, вероятность того, что один выбранный кубик будет окрашен с одной гранью, а другой — с тремя гранями, составляет примерно 0.00826, или 0.826%.
Ответ
Вероятность того, что у одного кубика окрашена 1 грань, а у другого 3 грани, составляет примерно 0.826%.
