Решите графически систему уравнений xy = 4 ,\\ y=x-3
Чтобы решить графически систему уравнений:
- \( xy = 4 \)
- \( y = x - 3 \)
мы будем строить графики каждого уравнения и искать точку их пересечения на координатной плоскости.
Шаг 1: Построение графика уравнения \( xy = 4 \)
Это уравнение описывает гиперболу. Для построения графика можно выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = \frac{4}{x} \]
Теперь выберем несколько значений \( x \) и найдем соответствующие \( y \):
- Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{4}{1} = 4 \)
- Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{4}{2} = 2 \)
- Если \( x = -1 \), то \( y = \frac{4}{-1} = -4 \)
- Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{4}{-2} = -2 \)
Используя эти точки, мы можем нарисовать гиперболу, учитывая точки симметрии относительно осей.
Шаг 2: Построение графика уравнения \( y = x - 3 \)
Это уравнение описывает прямую линию. Она пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -3) \) и имеет угловой коэффициент, равный 1.
Для постороения прямой достаточно двух точек:
- \( x = 0 \), \( y = 0 - 3 = -3 \)
- \( x = 3 \), \( y = 3 - 3 = 0 \)
Шаг 3: Поиск точки пересечения
Теперь нужно найти точку пересечения графиков:
Решаем систему уравнений алгебраически:
- Подставляем \( y = x - 3 \) во второе уравнение:
\[ x(x - 3) = 4 \]
- Раскрываем скобки:
\[ x^2 - 3x = 4 \]
- Переносим 4 влево:
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
- Решаем квадратное уравнение:
- Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
- Корни:
- \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
- \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)
Теперь найдем \( y \) для каждого \( x \):
- Если \( x = 4 \), то \( y = 4 - 3 = 1 \)
- Если \( x = -1 \), то \( y = -1 - 3 = -4 \)
Ответ
Точки пересечения: \( (4, 1) \) и \( (-1, -4) \). Эти точки являются решениями системы уравнений.
