Решите графически систему уравнений xy = 4 ,\\ y=x-3

Чтобы решить графически систему уравнений: 1. \( xy = 4 \) 2. \( y = x - 3 \) мы будем строить графики каждого уравнения и искать точку их пересечения на координатной плоскости. ### Шаг 1: Построение графика уравнения \( xy = 4 \) Это уравнение описывает гиперболу. Для построения графика можно выразить \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{4}{x} \] Теперь выберем несколько значений \( x \) и найдем соответствующие \( y \): - Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{4}{1} = 4 \) - Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{4}{2} = 2 \) - Если \( x = -1 \), то \( y = \frac{4}{-1} = -4 \) - Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{4}{-2} = -2 \) Используя эти точки, мы можем нарисовать гиперболу, учитывая точки симметрии относительно осей. ### Шаг 2: Построение графика уравнения \( y = x - 3 \) Это уравнение описывает прямую линию. Она пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -3) \) и имеет угловой коэффициент, равный 1. Для постороения прямой достаточно двух точек: - \( x = 0 \), \( y = 0 - 3 = -3 \) - \( x = 3 \), \( y = 3 - 3 = 0 \) ### Шаг 3: Поиск точки пересечения Теперь нужно найти точку пересечения графиков: Решаем систему уравнений алгебраически: 1. Подставляем \( y = x - 3 \) во второе уравнение: \[ x(x - 3) = 4 \] 2. Раскрываем скобки: \[ x^2 - 3x = 4 \] 3. Переносим 4 влево: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] 4. Решаем квадратное уравнение: - Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \) - Корни: - \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) - \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \) Теперь найдем \( y \) для каждого \( x \): - Если \( x = 4 \), то \( y = 4 - 3 = 1 \) - Если \( x = -1 \), то \( y = -1 - 3 = -4 \) ### Ответ Точки пересечения: \( (4, 1) \) и \( (-1, -4) \). Эти точки являются решениями системы уравнений.