Для нахождения площади кругового сектора, нам нужно использовать формулу:
[
S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2
]
где:
- ( S ) — площадь сектора,
- ( \alpha ) — угол сектора в градусах,
- ( r ) — радиус окружности.
Однако в этой задаче нам дано длину дуги сектора, которая равна ( 2\pi ), и угол сектора, равный ( 60^\circ ).
Для начала мы можем найти радиус ( r ) сектора, используя формулу для длины дуги:
[
L = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r
]
где:
- ( L ) — длина дуги, равная ( 2\pi ).
Подставим известные значения в формулу:
[
2\pi = \frac{60}{360} \cdot 2\pi r
]
Сначала упростим дробь:
[
\frac{60}{360} = \frac{1}{6}
]
Тогда у нас будет:
[
2\pi = \frac{1}{6} \cdot 2\pi r
]
Умножим обе стороны на 6:
[
6 \cdot 2\pi = 2\pi r
]
Теперь можем разделить обе стороны на ( 2\pi ) (при условии, что ( \pi \neq 0 )):
[
6 = r
]
Теперь, когда мы нашли радиус ( r = 6 ), можем подставить его обратно в формулу для площади сектора:
[
S = \frac{60}{360} \cdot \pi (6^2)
]
Сначала упростим:
[
S = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 36
]
Сократим:
[
S = 6\pi
]
Теперь, согласно условию задачи, нужно записать площадь, делённую на ( \pi ):
[
\frac{S}{\pi} = 6
]
Таким образом, ответ:
[
\boxed{6}
]
