Давайте решим систему уравнений:
- ( x + y = 12 ) (уравнение 1)
- ( xy = 32 ) (уравнение 2)
Шаг 1: Изолируем одну переменную
Сначала из уравнения 1 выразим одну переменную через другую. Например, выразим ( y ) через ( x ):
[
y = 12 - x
]
Шаг 2: Подставим в другое уравнение
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение (уравнение 2):
[
x(12 - x) = 32
]
Шаг 3: Раскроем скобки и приведем к стандартному виду
Раскроем скобки:
[
12x - x^2 = 32
]
Теперь приведем уравнение к стандартному виду (переносим все элементы на одну сторону):
[
-x^2 + 12x - 32 = 0
]
Для удобства, умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
[
x^2 - 12x + 32 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь используем формулу дискриминанта ( D ) для нахождения корней:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1, b = -12, c = 32 ):
[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16
]
Теперь находим корни квадратного уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{12 \pm 4}{2}
]
Теперь найдём два корня:
- ( x_1 = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 )
- ( x_2 = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
Шаг 5: Находим соответствующие значения для ( y )
Теперь, подставим найденные значения ( x ) обратно в уравнение 1, чтобы найти ( y ):
Если ( x = 8 ):
[
y = 12 - 8 = 4
]
Если ( x = 4 ):
[
y = 12 - 4 = 8
]
Ответ
Таким образом, у нас есть две пары решений:
- ( (x, y) = (8, 4) )
- ( (x, y) = (4, 8) )
Систему уравнений решено, и решения имеют смысл, так как обе пары удовлетворяют первоначальным уравнениям.
