решите систему уравнений {х+у=12 {ху=32

Давайте решим систему уравнений:

1. \( x + y = 12 \) (уравнение 1)
2. \( xy = 32 \) (уравнение 2)

Шаг 1: Изолируем одну переменную

Сначала из уравнения 1 выразим одну переменную через другую. Например, выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = 12 - x \]

Шаг 2: Подставим в другое уравнение

Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение (уравнение 2):

\[ x(12 - x) = 32 \]

Шаг 3: Раскроем скобки и приведем к стандартному виду

Раскроем скобки:

\[ 12x - x^2 = 32 \]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду (переносим все элементы на одну сторону):

\[ -x^2 + 12x - 32 = 0 \]

Для удобства, умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

\[ x^2 - 12x + 32 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь используем формулу дискриминанта \( D \) для нахождения корней:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1, b = -12, c = 32 \):

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 \]

Теперь находим корни квадратного уравнения с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{12 \pm 4}{2} \]

Теперь найдём два корня:

1. \( x_1 = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( x_2 = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Шаг 5: Находим соответствующие значения для \( y \)

Теперь, подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение 1, чтобы найти \( y \):

1. Если \( x = 8 \): \[ y = 12 - 8 = 4 \]

2. Если \( x = 4 \): \[ y = 12 - 4 = 8 \]

Ответ

Таким образом, у нас есть две пары решений:

1. \( (x, y) = (8, 4) \)
2. \( (x, y) = (4, 8) \)

Систему уравнений решено, и решения имеют смысл, так как обе пары удовлетворяют первоначальным уравнениям.