Коммунальная служба обслуживает три района, вероятности неприемлемого обслуживания (или полного отсутствия уборки) каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,08; 0,14; 0,2.
Составь закон распределения, где случайная величина Х - число районов, не требующих уборки в течение часа.
(При необходимости ответ округли до
Для решения этой задачи мы сначала определим, что мы имеем дело с дискретной случайной величиной \(X\), которая обозначает количество районов, не требующих уборки в течение часа. У нас есть три района, и мы знаем вероятности, по которым каждый из них может не требовать уборки:
- Район 1: \(P_1 = 0,08\)
- Район 2: \(P_2 = 0,14\)
- Район 3: \(P_3 = 0,20\)
Сначала мы рассчитаем вероятность того, что каждый район будет нуждаться в уборке, поскольку эти вероятности потребуются для построения закона распределения. Вероятность, что район будет нуждаться в уборке, равна \(1 - P\) для каждого района:
- Район 1: \(P(нуждается) = 1 - 0,08 = 0,92\)
- Район 2: \(P(нуждается) = 1 - 0,14 = 0,86\)
- Район 3: \(P(нуждается) = 1 - 0,20 = 0,80\)
Теперь мы можем включить все возможные исходы, чтобы составить закон распределения для \(X\) (число районов, не требующих уборки).
Возможные значения \(X\) могут быть от 0 до 3:
1. **\(X = 0\)**: Ни один из районов не нуждается в уборке.
\[
P(X = 0) = P(1) \cdot P(2) \cdot P(3) = 0,08 \cdot 0,14 \cdot 0,20 = 0,000224
\]
2. **\(X = 1\)**: Один из трех районов не нуждается в уборке, а два требуют. Это возможно тремя способами (нуждается в уборке район):
\[
P(X = 1) = (P(1) \cdot P(2) \cdot (1 - P(3))) + (P(1) \cdot (1 - P(2)) \cdot P(3)) + ((1 - P(1)) \cdot P(2) \cdot P(3))
\]
Подставляя значения:
\[
= (0,08 \cdot 0,14 \cdot 0,80) + (0,08 \cdot 0,86 \cdot 0,20) + (0,92 \cdot 0,14 \cdot 0,20)
= 0,0896 + 0,0328 + 0,02576 = 0,14816
\]
3. **\(X = 2\)**: Два района не нуждаются в уборке, и один нуждается. Это также возможно тремя способами:
\[
P(X = 2) = (P(1) \cdot (1 - P(2)) \cdot (1 - P(3))) + ((1 - P(1)) \cdot P(2) \cdot (1 - P(3))) + ((1 - P(1)) \cdot (1 - P(2)) \cdot P(3))
\]
Подставляем значения:
\[
= (0,08 \cdot 0,86 \cdot 0,80) + (0,92 \cdot 0,14 \cdot 0,80) + (0,92 \cdot 0,86 \cdot 0,20)
= 0,05408 + 0,10336 + 0,15872 = 0,31616
\]
4. **\(X = 3\)**: Все три района не нуждаются в уборке:
\[
P(X = 3) = P(1) \cdot P(2) \cdot P(3) = 0,08 \cdot 0,14 \cdot 0,20 = 0,000224
\]
Теперь мы можем составить закон распределения, который включает все вероятности:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & P(X) \\
\hline
0 & 0,000224 \\
1 & 0,14816 \\
2 & 0,31616 \\
3 & 0,000224 \\
\hline
\end{array}
\]
Это закон распределения для случайной величины \(X\), представляющий количество районов, не требующих уборки в течение часа. Если округлить до четырёх знаков после запятой:
- \(P(X=0) \approx 0,0002\)
- \(P(X=1) \approx 0,1482\)
- \(P(X=2) \approx 0,3162\)
- \(P(X=3) \approx 0,0002\)
