Найди вероятность того, что пятерка выпить ровно два раза, если игральную кость бросают 8 раз

Для решения задачи о вероятности выпадения пятерки ровно два раза при 8 бросках игральной кости, можно использовать формулу биномиального распределения.

Шаг 1: Понять условия задачи

• Мы бросаем игральную кость 8 раз (n = 8).
• Вероятность того, что в одном броске выпадет пятерка (успех) равна 1/6, так как кость имеет 6 граней.
• Вероятность того, что пятерка не выпадет (неудача) = 5/6.

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Формула биномиального распределения для нахождения вероятности k успехов (в данном случае мы хотим, чтобы пятерка выпала 2 раза) из n испытаний выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\),
• \(p\) — вероятность успеха (в нашем случае, вероятность получить пятерку),
• \(k\) — количество успехов (в нашем случае, 2),
• \(n\) — общее количество испытаний.

Шаг 3: Подставим значения в формулу

• \(n = 8\)
• \(k = 2\)
• \(p = \frac{1}{6}\)
• \(1 - p = \frac{5}{6}\)

Теперь вычислим:

1. Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8 - 2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]

2. Теперь подставим все значения в формулу: \[ P(X = 2) = 28 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8 - 2} \]

   • Сначала узнаем \(\left(\frac{1}{6}\right)^2\): \[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]

   • Затем вычислим \(\left(\frac{5}{6}\right)^6\): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^6 \approx 0.3349 \quad (\text{это можно вычислить с помощью калькулятора}) \]

3. Теперь все подставим обратно в формулу: \[ P(X = 2) = 28 \cdot \frac{1}{36} \cdot 0.3349 \]

4. Вычислим: \[ P(X = 2) \approx 28 \cdot 0.009274 \approx 0.2597 \]

Шаг 4: Запишем окончательный ответ

Таким образом, вероятность того, что пятерка выпадает ровно два раза при 8 бросках игральной кости, приблизительно равна 0.2597, или 25.97%.

Это означает, что если вы будете бросать кость 8 раз, есть примерно 25.97% шанса, что пятерка выпадет ровно два раза.