cos2x+√2cos(x+π)+1=0
Для решения уравнения \( \cos(2x) + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0 \) начнем с упрощения его, шаг за шагом.
Шаг 1: Упрощение уравнения
Сначала обратим внимание на второй член уравнения:
\[ \cos(x + \pi) = -\cos(x) \]
Теперь можем подставить это значение в уравнение:
\[ \cos(2x) + \sqrt{2}(-\cos(x)) + 1 = 0 \]
Таким образом, уравнение превращается в:
\[ \cos(2x) - \sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0 \]
Шаг 2: Использование формулы для косинуса двойного угла
Используем формулу двойного угла для косинуса:
\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]
Подставим это в уравнение:
\[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 2\cos^2(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0 \]
Шаг 3: Вынесение общего множителя
Можно вынести общий множитель \( \cos(x) \):
\[ \cos(x)(2\cos(x) - \sqrt{2}) = 0 \]
Теперь у нас есть произведение равное нулю, что означает, что один из множителей равен нулю.
Шаг 4: Решение уравнений
Первый множитель: \[ \cos(x) = 0 \] Это равенство выполняется, когда: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Второй множитель: \[ 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \] Решим это уравнение: \[ 2\cos(x) = \sqrt{2} \implies \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это равенство выполняется, когда: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Шаг 5: Окончательные решения
Таким образом, все решения уравнения:
- \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
- \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
- \( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Мы нашли все значения \( x \), которые удовлетворяют исходному уравнению \( \cos(2x) + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0 \). Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
