Cos2x+√2cos(x+π)+1=0

Для решения уравнения \( \cos(2x) + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0 \) начнем с упрощения его, шаг за шагом. ### Шаг 1: Упрощение уравнения Сначала обратим внимание на второй член уравнения: \[ \cos(x + \pi) = -\cos(x) \] Теперь можем подставить это значение в уравнение: \[ \cos(2x) + \sqrt{2}(-\cos(x)) + 1 = 0 \] Таким образом, уравнение превращается в: \[ \cos(2x) - \sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0 \] ### Шаг 2: Использование формулы для косинуса двойного угла Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0 \] Упрощаем уравнение: \[ 2\cos^2(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0 \] ### Шаг 3: Вынесение общего множителя Можно вынести общий множитель \( \cos(x) \): \[ \cos(x)(2\cos(x) - \sqrt{2}) = 0 \] Теперь у нас есть произведение равное нулю, что означает, что один из множителей равен нулю. ### Шаг 4: Решение уравнений 1. **Первый множитель:** \[ \cos(x) = 0 \] Это равенство выполняется, когда: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. **Второй множитель:** \[ 2\cos(x) - \sqrt{2} = 0 \] Решим это уравнение: \[ 2\cos(x) = \sqrt{2} \implies \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это равенство выполняется, когда: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 5: Окончательные решения Таким образом, все решения уравнения: 1. \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) 2. \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) 3. \( x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \) Мы нашли все значения \( x \), которые удовлетворяют исходному уравнению \( \cos(2x) + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0 \). Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!