Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,7. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,5. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что: а) А. выиграет оба раза; 6) А. выиграет только одну партию из двух; в) А. выиграет хотя бы одну из партий.

Для решения данной задачи используем теорию вероятностей. ### Условия задачи 1. Когда гроссмейстер А. играет белыми, вероятность выигрыша у Б. — \( P(A_W) = 0.7 \). 2. Когда А. играет черными, вероятность выигрыша у Б. — \( P(A_B) = 0.5 \). 3. Мы предполагаем, что результаты игр независимы. Исходя из условий задачи, А. будет играть две партии: - В первой партии он играет белыми (выигрыш с вероятностью \( 0.7 \)). - Во второй партии он играет черными (выигрыш с вероятностью \( 0.5 \)). ### А) Вероятность того, что А. выиграет оба раза Вероятность того, что А. выиграет первую партию (играя белыми), равна \( P(A_W) = 0.7 \). Вероятность того, что А. выиграет вторую партию (играя черными), равна \( P(A_B) = 0.5 \). Поскольку игры независимы, общая вероятность выигрыша обеих партий будет равна произведению вероятностей: \[ P(\text{выигрывает оба раза}) = P(A_W) \cdot P(A_B) = 0.7 \cdot 0.5 = 0.35 \] ### Б) Вероятность того, что А. выиграет только одну партию из двух А. может выиграть только одну партию в двух случаях: 1. Выигрывает первую партию (белыми) и проигрывает вторую (черными). 2. Проигрывает первую партию (белыми) и выигрывает вторую (черными). #### 1. Выигрыш первой партии и проигрыш второй Вероятность того, что А. выиграет первую и проиграет вторую: \[ P(A_W \cap \neg A_B) = P(A_W) \cdot P(\neg A_B) = 0.7 \cdot (1 - 0.5) = 0.7 \cdot 0.5 = 0.35 \] #### 2. Проигрыш первой партии и выигрыш второй Вероятность того, что А. проиграет первую и выиграет вторую: \[ P(\neg A_W \cap A_B) = P(\neg A_W) \cdot P(A_B) = (1 - 0.7) \cdot 0.5 = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15 \] Теперь сложим вероятности обоих случаев, чтобы найти общую вероятность того, что А. выиграет только одну партию: \[ P(\text{выигрывает только одну}) = P(A_W \cap \neg A_B) + P(\neg A_W \cap A_B) = 0.35 + 0.15 = 0.5 \] ### В) Вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну из партий Для нахождения вероятности того, что А. выиграет хотя бы одну партию, можно воспользоваться принципом дополнения. Сначала вычислим вероятность того, что А. не выиграет ни одной партии. Вероятность проигрыша первой партии (белыми): \[ P(\neg A_W) = 1 - P(A_W) = 1 - 0.7 = 0.3 \] Вероятность проигрыша второй партии (черными): \[ P(\neg A_B) = 1 - P(A_B) = 1 - 0.5 = 0.5 \] Теперь находим вероятность того, что А. проиграет обе партии: \[ P(\neg A_W \cap \neg A_B) = P(\neg A_W) \cdot P(\neg A_B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15 \] Следовательно, вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию: \[ P(\text{выигрывает хотя бы одну}) = 1 - P(\neg A_W \cap \neg A_B) = 1 - 0.15 = 0.85 \] ### Ответы а) Вероятность того, что А. выиграет оба раза: **0.35** б) Вероятность того, что А. выиграет только одну партию из двух: **0.5** в) Вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну из партий: **0.85**