Выберите все выражения, которые будут чётными при всех натуральных 𝑛. 1) 4𝑛 + 18; 2) 7𝑛(7𝑛 + 1); 3) (𝑛 + 3)(𝑛 + 4); 4) 2𝑛 + 3; 5) 15^2 + 19^2

Чтобы определить, какие из данных выражений будут чётными для всех натуральных \( n \), давайте проанализируем каждое из них.

1) \( 4n + 18 \)

Рассмотрим:

• \( 4n \) — это четное число, так как \( 4 \) — чётное число и произведение чётного числа на любое натуральное число остаётся чётным.
• \( 18 \) — это также чётное число.
• Сумма двух чётных чисел всегда чётная.

Следовательно, \( 4n + 18 \) всегда четное для всех натуральных \( n \).

2) \( 7n(7n + 1) \)

Рассмотрим:

• \( 7n \) — это чётное число, если \( n \) чётное, и нечётное, если \( n \) нечётное.
• \( 7n + 1 \) — это всегда нечётное число, если \( 7n \) нечётное (что случается, когда \( n \) нечётное).
• Произведение чётного числа и нечётного числа всегда остаётся чётным, но произведение двух нечётных чисел даёт нечётное.

Таким образом, это выражение не будет чётным для всех \( n \) (например, при \( n = 1 \)).

Следовательно, \( 7n(7n + 1) \) не всегда чётное.

3) \( (n + 3)(n + 4) \)

Рассмотрим:

• \( n + 3 \) — это нечётное число, если \( n \) нечётное, и чётное, если \( n \) чётное.
• \( n + 4 \) — это чётное число (так как \( 4 \) чётное).
• Произведение для чётного и нечётного даёт чётное, так что для чётного \( n \) это выражение будет чётным, а для нечётного \( n \) — также чётным, поскольку нечётное число на чётное даёт чётное.

Следовательно, \( (n + 3)(n + 4) \) всегда чётное.

4) \( 2n + 3 \)

Рассмотрим:

• \( 2n \) — это всегда чётное число.
• \( 3 \) — это нечётное число.
• Сумма чётного и нечётного числа всегда нечётная.

Следовательно, \( 2n + 3 \) не всегда чётное.

5) \( 15^2 + 19^2 \)

Рассмотрим:

• \( 15^2 = 225 \) — это нечётное число.
• \( 19^2 = 361 \) — это также нечётное число.
• Сумма двух нечётных чисел всегда чётная.

Следовательно, \( 15^2 + 19^2 \) всегда чётное.

Итог

Таким образом, выражения, которые будут чётными при всех натуральных \( n \):

• 1. \( 4n + 18 \)
• 3. \( (n + 3)(n + 4) \)
• 5. \( 15^2 + 19^2 \)

Ответ: 1, 3 и 5.