Выберите все выражения, которые будут чётными при всех натуральных 𝑛. 1) 4𝑛 + 18; 2) 7𝑛(7𝑛 + 1); 3) (𝑛 + 3)(𝑛 + 4); 4) 2𝑛 + 3; 5) 15^2 + 19^2

Чтобы определить, какие из данных выражений будут чётными для всех натуральных \( n \), давайте проанализируем каждое из них. ### 1) \( 4n + 18 \) Рассмотрим: - \( 4n \) — это четное число, так как \( 4 \) — чётное число и произведение чётного числа на любое натуральное число остаётся чётным. - \( 18 \) — это также чётное число. - Сумма двух чётных чисел всегда чётная. **Следовательно, \( 4n + 18 \) всегда четное для всех натуральных \( n \).** ### 2) \( 7n(7n + 1) \) Рассмотрим: - \( 7n \) — это чётное число, если \( n \) чётное, и нечётное, если \( n \) нечётное. - \( 7n + 1 \) — это всегда нечётное число, если \( 7n \) нечётное (что случается, когда \( n \) нечётное). - Произведение чётного числа и нечётного числа всегда остаётся чётным, но произведение двух нечётных чисел даёт нечётное. Таким образом, это выражение не будет чётным для всех \( n \) (например, при \( n = 1 \)). **Следовательно, \( 7n(7n + 1) \) не всегда чётное.** ### 3) \( (n + 3)(n + 4) \) Рассмотрим: - \( n + 3 \) — это нечётное число, если \( n \) нечётное, и чётное, если \( n \) чётное. - \( n + 4 \) — это чётное число (так как \( 4 \) чётное). - Произведение для чётного и нечётного даёт чётное, так что для чётного \( n \) это выражение будет чётным, а для нечётного \( n \) — также чётным, поскольку нечётное число на чётное даёт чётное. **Следовательно, \( (n + 3)(n + 4) \) всегда чётное.** ### 4) \( 2n + 3 \) Рассмотрим: - \( 2n \) — это всегда чётное число. - \( 3 \) — это нечётное число. - Сумма чётного и нечётного числа всегда нечётная. **Следовательно, \( 2n + 3 \) не всегда чётное.** ### 5) \( 15^2 + 19^2 \) Рассмотрим: - \( 15^2 = 225 \) — это нечётное число. - \( 19^2 = 361 \) — это также нечётное число. - Сумма двух нечётных чисел всегда чётная. **Следовательно, \( 15^2 + 19^2 \) всегда чётное.** ### Итог Таким образом, выражения, которые будут чётными при всех натуральных \( n \): - 1) \( 4n + 18 \) - 3) \( (n + 3)(n + 4) \) - 5) \( 15^2 + 19^2 \) Ответ: **1, 3 и 5**.