Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоро-стью w=p/6 рад/с. Во сколько раз путь Ds, пройденный точкой за время t=4 с, больше модуля ее перемещения Dr ?…

Решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как связаны путь \(D_s\) и перемещение \(D_r\) для материальной точки, движущейся по окружности.

Дано:

• Угловая скорость \( \omega = \frac{\pi}{6} \) рад/с
• Время \( t = 4 \) с
• Начальный угол \( \varphi_0 = \frac{\pi}{3} \) рад

Шаг 1: Определение углового перемещения

Сначала найдем угловое перемещение \( \Delta \varphi \) точки за время \( t \): \[ \Delta \varphi = \omega \cdot t = \frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад} \]

Шаг 2: Определение конечного угла

Теперь определим конечный угол \( \varphi \): \[ \varphi = \varphi_0 + \Delta \varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi \text{ рад} \]

Шаг 3: Определение пути \( D_s \)

Путь \( D_s \), пройденный точкой за время \( t \), определяется по формуле: \[ D_s = r \cdot \Delta \varphi \] где \( r \) — радиус окружности.

Мы не знаем радиус \( r \), но он не окажет влияния на конечный результат. Подставим: \[ D_s = r \cdot \frac{2\pi}{3} \]

Шаг 4: Определение перемещения \( D_r \)

Перемещение \( D_r \) — это прямая линия между начальной и конечной точкой траектории. Поскольку конечный угол равен \( \pi \) радиан, точка переместилась из \( \frac{\pi}{3} \) в \( \pi \).

Чтобы найти \( D_r \), необходимо вычислить длину хорды, соединяющей начальную и конечную точку. Эта хорда создаёт равнобедренный треугольник с углом \( \Delta \varphi \).

Используя формулу для длины хорды: \[ D_r = 2r \sin\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right) \] Подставим: \[ D_r = 2r \sin\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 2r \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Зная, что \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \[ D_r = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3} \]

Шаг 5: Найдем отношение \( \frac{D_s}{D_r} \)

Теперь найдём, во сколько раз путь \( D_s \) больше перемещения \( D_r \): \[ \frac{D_s}{D_r} = \frac{r \cdot \frac{2\pi}{3}}{r\sqrt{3}} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}} \] Упрощая, радиус \( r \) сокращается: \[ \frac{D_s}{D_r} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \]

Ответ

Таким образом, \( D_s \) больше \( D_r \) в \( \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \) раз.