Решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как связаны путь (D_s) и перемещение (D_r) для материальной точки, движущейся по окружности.
Дано:
- Угловая скорость ( \omega = \frac{\pi}{6} ) рад/с
- Время ( t = 4 ) с
- Начальный угол ( \varphi_0 = \frac{\pi}{3} ) рад
Шаг 1: Определение углового перемещения
Сначала найдем угловое перемещение ( \Delta \varphi ) точки за время ( t ):
[
\Delta \varphi = \omega \cdot t = \frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}
]
Шаг 2: Определение конечного угла
Теперь определим конечный угол ( \varphi ):
[
\varphi = \varphi_0 + \Delta \varphi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi \text{ рад}
]
Шаг 3: Определение пути ( D_s )
Путь ( D_s ), пройденный точкой за время ( t ), определяется по формуле:
[
D_s = r \cdot \Delta \varphi
]
где ( r ) — радиус окружности.
Мы не знаем радиус ( r ), но он не окажет влияния на конечный результат. Подставим:
[
D_s = r \cdot \frac{2\pi}{3}
]
Шаг 4: Определение перемещения ( D_r )
Перемещение ( D_r ) — это прямая линия между начальной и конечной точкой траектории. Поскольку конечный угол равен ( \pi ) радиан, точка переместилась из ( \frac{\pi}{3} ) в ( \pi ).
Чтобы найти ( D_r ), необходимо вычислить длину хорды, соединяющей начальную и конечную точку. Эта хорда создаёт равнобедренный треугольник с углом ( \Delta \varphi ).
Используя формулу для длины хорды:
[
D_r = 2r \sin\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right)
]
Подставим:
[
D_r = 2r \sin\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 2r \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)
]
Зная, что ( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:
[
D_r = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}
]
Шаг 5: Найдем отношение ( \frac{D_s}{D_r} )
Теперь найдём, во сколько раз путь ( D_s ) больше перемещения ( D_r ):
[
\frac{D_s}{D_r} = \frac{r \cdot \frac{2\pi}{3}}{r\sqrt{3}} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}}
]
Упрощая, радиус ( r ) сокращается:
[
\frac{D_s}{D_r} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}
]
Ответ
Таким образом, ( D_s ) больше ( D_r ) в ( \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} ) раз.
