Бригада маляров красит забор длиной 450 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 180 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Для решения задачи о покраске забора малярами, давайте обозначим некоторые переменные: 1. Пусть \(x\) — это количество дней, в течение которых бригада маляров красила забор. 2. Пусть \(a\) — это количество метров, которое бригада покрасила в первый день. 3. Так как бригада каждый день увеличивает норму покраски на одно и то же число метров, обозначим это число как \(d\). Тогда, в \(n\)-й день бригада покрасила \(a + (n - 1)d\) метров. Таким образом, в первый день бригада покрасила \(a\) метров, а в последний, то есть в \(x\)-й день — \(a + (x - 1)d\) метров. Из условия задачи мы знаем, что сумма покраски за первый и последний дни составляет 180 метров: \[ a + (a + (x - 1)d) = 180 \] Это упростим: \[ 2a + (x - 1)d = 180 \quad \text{(1)} \] Также известно, что общая длина забора составляет 450 метров. Общее количество покрашенных метров за все дни можно выразить как сумму арифметической прогрессии: Общая длина будет равна: \[ S = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (x - 1)d) \] Что можно упростить до: \[ S = \frac{x}{2} \cdot (2a + (x-1)d) \] Исходя из условия, эта сумма равна 450 метрам, т.е.: \[ \frac{x}{2} \cdot (2a + (x-1)d) = 450 \quad \text{(2)} \] Теперь у нас есть две уравнения — (1) и (2). Из (1) выразим \(2a\): \[ 2a = 180 - (x - 1)d \quad \Rightarrow \quad 2a = 180 - xd + d \quad \Rightarrow \quad 2a = 180 + d - xd \quad \text{(3)} \] Теперь подставим (3) в (2): \[ \frac{x}{2} \cdot (180 + d - xd) = 450 \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x(180 + d - xd) = 900 \] Теперь раскроем скобки: \[ 180x + xd - x^2d = 900 \] Перепишем это уравнение в стандартной форме: \[ -x^2d + xd + 180x - 900 = 0 \] Это квадратное уравнение по переменной \(x\). Однако, для определения конкретных значений \(x\) и \(d\) нам нужно больше информации. Мы знаем автор не указал конкретное значение для \(d\), но можем попробовать оценить некоторые значения. ### Поиск значений Допустим, для простоты, что \(d = 10\) (бригаде каждый день добавляется по 10 метров), тогда уравнение может быть решено линейно. Подставим в уравнение (1): \[ 2a + (x - 1) \cdot 10 = 180 \quad \Rightarrow \quad 2a + 10x - 10 = 180 \quad \Rightarrow \quad 2a + 10x = 190 \quad \Rightarrow \quad 2a = 190 - 10x \quad \Rightarrow \quad a = \frac{190 - 10x}{2} \] Теперь подставляем это в уравнение (2): \[ \frac{x}{2} \cdot (190 - 10x) = 450 \] Умножим обе стороны на 2: \[ x(190 - 10x) = 900 \] Раскроем скобки: \[ 190x - 10x^2 = 900 \] Приведем к стандартной форме: \[ 10x^2 - 190x + 900 = 0 \] Разделим всё на 10: \[ x^2 - 19x + 90 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1 \] Так что у нас есть: \[ x = \frac{19 \pm \sqrt{1}}{2} \] Решения: \[ x = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{или} \quad x = \frac{18}{2} = 9 \] Таким образом, бригада могла красить забор в течение **9 или 10 дней**. Важно проверять, соответствует ли найденное значение покраске забора. ### Вывод В данном случае бригада маляров красила забор в течение **9 или 10 дней**, в зависимости от выбранного шагового увеличения метража \(d\).