В прямоугольнике  M N K L MNKL точки  Q Q,  R R,  S S и  T T являются серединами его сторон. Чему равен периметр четырёхугольника  Q R S T QRST, если диагональ прямоугольника  M N K L MNKL равна  46 , 4 46,4 см?

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим свойства прямоугольника и основные понятия о его диагоналях и серединах сторон. 1. **Свойства прямоугольника:** - У прямоугольника есть четыре стороны, которые попарно равны: противоположные стороны равны. - Диагонали прямоугольника равны и делят его пополам. 2. **Определим стороны прямоугольника:** Пусть длины сторон прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Тогда длина диагонали \( d \) прямоугольника выражается по теореме Пифагора как: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] В нашем случае, диагональ \( d = 46.4 \) см, следовательно \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 46.4 \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ a^2 + b^2 = (46.4)^2 \] Это дает: \[ a^2 + b^2 = 2169.76 \] 3. **Находим координаты точек Q, R, S и T:** Точки \( Q \), \( R \), \( S \) и \( T \) являются серединами сторон \( MN \), \( NK \), \( KL \) и \( LM \) соответственно. Если расположим прямоугольник на координатной плоскости так, что: - \( M(0, 0) \) - \( N(a, 0) \) - \( K(a, b) \) - \( L(0, b) \) Тогда координаты точек будут: - \( Q\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) — середина \( MN \) - \( R\left(a, \frac{b}{2}\right) \) — середина \( NK \) - \( S\left(\frac{a}{2}, b\right) \) — середина \( KL \) - \( T\left(0, \frac{b}{2}\right) \) — середина \( LM \) 4. **Находим длины сторон четырехугольника QRST:** Рассмотрим отрезки \( QR \), \( RS \), \( ST \) и \( TQ \). - Длина \( QR \): \[ QR = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{2} \cdot 46.4 = 23.2 \text{ см} \] - Длина \( RS \): \[ RS = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(b - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23.2 \text{ см} \] - Длина \( ST \): \[ ST = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23.2 \text{ см} \] - Длина \( TQ \): \[ TQ = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23.2 \text{ см} \] 5. **Находим периметр четырехугольника QRST:** \[ P = QR + RS + ST + TQ = 23.2 + 23.2 + 23.2 + 23.2 = 92.8 \text{ см} \] Таким образом, периметр четырехугольника \( QRST \) равен **92.8 см**.