В прямоугольнике M N K L MNKL точки Q Q , R R , S S и T T являются серединами его сторон. Чему равен периметр четырёхугольника Q R S T QRST , если диагональ прямоугольника M N K L…

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим свойства прямоугольника и основные понятия о его диагоналях и серединах сторон.

1. Свойства прямоугольника:

   • У прямоугольника есть четыре стороны, которые попарно равны: противоположные стороны равны.
   • Диагонали прямоугольника равны и делят его пополам.

2. Определим стороны прямоугольника: Пусть длины сторон прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Тогда длина диагонали \( d \) прямоугольника выражается по теореме Пифагора как: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] В нашем случае, диагональ \( d = 46.4 \) см, следовательно \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 46.4 \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ a^2 + b^2 = (46.4)^2 \] Это дает: \[ a^2 + b^2 = 2169.76 \]

3. Находим координаты точек Q, R, S и T: Точки \( Q \), \( R \), \( S \) и \( T \) являются серединами сторон \( MN \), \( NK \), \( KL \) и \( LM \) соответственно. Если расположим прямоугольник на координатной плоскости так, что:

   • \( M(0, 0) \)
   • \( N(a, 0) \)
   • \( K(a, b) \)
   • \( L(0, b) \)

   Тогда координаты точек будут:

   • \( Q\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) — середина \( MN \)
   • \( R\left(a, \frac{b}{2}\right) \) — середина \( NK \)
   • \( S\left(\frac{a}{2}, b\right) \) — середина \( KL \)
   • \( T\left(0, \frac{b}{2}\right) \) — середина \( LM \)

4. Находим длины сторон четырехугольника QRST: Рассмотрим отрезки \( QR \), \( RS \), \( ST \) и \( TQ \).

   • Длина \( QR \): \[ QR = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{1}{2} \cdot 46.4 = 23.2 \text{ см} \]

   • Длина \( RS \): \[ RS = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(b - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23.2 \text{ см} \]

   • Длина \( ST \): \[ ST = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23.2 \text{ см} \]

   • Длина \( TQ \): \[ TQ = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = 23.2 \text{ см} \]

5. Находим периметр четырехугольника QRST: \[ P = QR + RS + ST + TQ = 23.2 + 23.2 + 23.2 + 23.2 = 92.8 \text{ см} \]

Таким образом, периметр четырехугольника \( QRST \) равен 92.8 см.