Чтобы решить эту задачу, начнём с определения необходимых понятий и формул, связанных с площадями поверхности шара и цилиндра.
Шаг 1: Найдём радиус шара.
Площадь поверхности шара ( S ) рассчитывается по формуле:
[
S = 4\pi r^2
]
где ( r ) — радиус шара. У нас есть площадь ( S = 36 ). Подставим это значение в формулу:
[
4\pi r^2 = 36
]
Теперь решим уравнение для ( r^2 ):
[
r^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi}
]
Шаг 2: Найдём радиус шара.
Теперь найдём радиус шара ( r ):
[
r = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}
]
Шаг 3: Определим высоту цилиндра.
Поскольку шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен радиусу шара, то есть:
[
R = r = \frac{3}{\sqrt{\pi}}
]
Также высота цилиндра ( h ) равна диаметру шара:
[
h = 2r = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}}
]
Шаг 4: Найдём площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра ( S_c ) рассчитывается по формуле:
[
S_c = 2\pi R^2 + 2\pi Rh
]
где ( R ) — радиус основания, а ( h ) — высота. Подставим известные значения.
- Вычислим первый член ( 2\pi R^2 ):
[
2\pi R^2 = 2\pi \left( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = 2\pi \cdot \frac{9}{\pi} = 18
]
- Вычислим второй член ( 2\pi Rh ):
[
2\pi Rh = 2\pi \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{6}{\sqrt{\pi}} = 2\pi \cdot \frac{18}{\pi} = 36
]
Шаг 5: Сложим обе части для нахождения полной площади.
Теперь сложим оба значения, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра:
[
S_c = 18 + 36 = 54
]
Ответ:
Площадь полной поверхности цилиндра равна ( 54 ) квадратных единиц.
