Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 7 , а плоский угол при вершине пирамиды равен 45 ° 45° . Найди площадь основания пирамиды. Запиши в поле ответа верное число.

Для решения задачи найдем площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, используя высоту и угол при вершине.

1. Понимание терминов:

   • Высота (h) — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. В данной задаче \( h = 7 \).
   • Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание.

2. Плоский угол при вершине:

   • Угол при вершине пирамиды (α) равен 45°. Это угол между ребром пирамиды и высотой.

3. Связь угла у вершины и основания:

   • Если угол при вершине 45°, это значит, что высота равна половине длины ребра (l) основания. Обозначим длину стороны квадрата основания как \( a \).

   Из треугольника, образованного высотой, половиной стороны основания и ребром, мы можем использовать тангенс угла: \[ \tan(α) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]

   Так как \( \tan(45°) = 1 \), у нас получится: \[ 1 = \frac{7}{\frac{a}{2}} \] Отсюда, умножив обе стороны на \( \frac{a}{2} \): \[ \frac{a}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 14 \]

4. Расчет площади основания:

   • Площадь квадрата (S) вычисляется как: \[ S = a^2 \] Подставляя \( a = 14 \): \[ S = 14^2 = 196 \]

Таким образом, площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна \( 196 \).

Ответ: 196.