В треугольнике M N K MNK угол N N равен 9 0 ∘ 90 ∘ , sin ⁡ K = 12 17 sinK= 17 12 ​ , M K = 68 MK=68 . Найди M N MN .

Решим задачу, используя информацию о треугольнике \( \triangle MNK \). У нас есть прямоугольный треугольник, где \( \angle N = 90^\circ \), а также известные значения:

• \( \sin K = \frac{12}{17} \)
• \( MK = 68 \)

Необходимо найти длину \( MN \).

Шаг 1: Найдем длину стороны \( NK \)

Согласно определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin K = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{NK}{MK} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{12}{17} = \frac{NK}{68} \]

Шаг 2: Решим уравнение для \( NK \)

Преобразуем уравнение, чтобы найти \( NK \):

\[ NK = MK \cdot \sin K = 68 \cdot \frac{12}{17} \]

Шаг 3: Рассчитаем значение

Выполним умножение:

\[ NK = 68 \cdot \frac{12}{17} = \frac{68 \cdot 12}{17} \]

Сначала найдем \( 68 \div 17 = 4 \), тогда:

\[ NK = 4 \cdot 12 = 48 \]

Итак, \( NK = 48 \).

Шаг 4: Найдем длину стороны \( MN \)

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике \( MNK \):

\[ NK^2 + MN^2 = MK^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 48^2 + MN^2 = 68^2 \]

Шаг 5: Рассчитаем квадратные значения

Вычислим:

\[ 48^2 = 2304, \] \[ 68^2 = 4624 \]

Теперь подставим их в уравнение:

\[ 2304 + MN^2 = 4624 \]

Шаг 6: Найдем \( MN^2 \)

Решим уравнение относительно \( MN^2 \):

\[ MN^2 = 4624 - 2304 = 2320 \]

Шаг 7: Извлекем корень для нахождения \( MN \)

Теперь найдем \( MN \):

\[ MN = \sqrt{2320} \]

Для упрощения можно подкоренное выражение разложить на множители:

\[ 2320 = 16 \times 145 \]

Следовательно, \( \sqrt{16} = 4 \):

\[ MN = 4\sqrt{145} \]

Заключение

Таким образом, длина стороны \( MN \) в треугольнике \( MNK \) равна \( 4\sqrt{145} \) (примерно 48.33) единиц.