Решим задачу, используя информацию о треугольнике ( \triangle MNK ). У нас есть прямоугольный треугольник, где ( \angle N = 90^\circ ), а также известные значения:
- ( \sin K = \frac{12}{17} )
- ( MK = 68 )
Необходимо найти длину ( MN ).
Шаг 1: Найдем длину стороны ( NK )
Согласно определению синуса в прямоугольном треугольнике:
[
\sin K = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{NK}{MK}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{12}{17} = \frac{NK}{68}
]
Шаг 2: Решим уравнение для ( NK )
Преобразуем уравнение, чтобы найти ( NK ):
[
NK = MK \cdot \sin K = 68 \cdot \frac{12}{17}
]
Шаг 3: Рассчитаем значение
Выполним умножение:
[
NK = 68 \cdot \frac{12}{17} = \frac{68 \cdot 12}{17}
]
Сначала найдем ( 68 \div 17 = 4 ), тогда:
[
NK = 4 \cdot 12 = 48
]
Итак, ( NK = 48 ).
Шаг 4: Найдем длину стороны ( MN )
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ( MNK ):
[
NK^2 + MN^2 = MK^2
]
Подставим известные значения:
[
48^2 + MN^2 = 68^2
]
Шаг 5: Рассчитаем квадратные значения
Вычислим:
[
48^2 = 2304,
]
[
68^2 = 4624
]
Теперь подставим их в уравнение:
[
2304 + MN^2 = 4624
]
Шаг 6: Найдем ( MN^2 )
Решим уравнение относительно ( MN^2 ):
[
MN^2 = 4624 - 2304 = 2320
]
Шаг 7: Извлекем корень для нахождения ( MN )
Теперь найдем ( MN ):
[
MN = \sqrt{2320}
]
Для упрощения можно подкоренное выражение разложить на множители:
[
2320 = 16 \times 145
]
Следовательно, ( \sqrt{16} = 4 ):
[
MN = 4\sqrt{145}
]
Заключение
Таким образом, длина стороны ( MN ) в треугольнике ( MNK ) равна ( 4\sqrt{145} ) (примерно 48.33) единиц.
