2х+5/х+1≤х+3/2х+9 реши
Чтобы решить неравенство \( \frac{2x + 5}{x + 1} \leq \frac{x + 3}{2x + 9} \), давайте будем следовать пошаговой инструкции.
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Неравенство можно решить, приводя обе части к одному знаменателю. Начнем с того, что можем переписать неравенство:
\[ \frac{2x + 5}{x + 1} - \frac{x + 3}{2x + 9} \leq 0 \]
Находим общий знаменатель, им будет \( (x + 1)(2x + 9) \).
Теперь: \[ \frac{(2x + 5)(2x + 9) - (x + 3)(x + 1)}{(x + 1)(2x + 9)} \leq 0 \]
Шаг 2: Упрощение числителя
Теперь упростим числитель:
Раскроем скобки: \[ (2x + 5)(2x + 9) = 4x^2 + 18x + 10x + 45 = 4x^2 + 28x + 45 \]
\[ (x + 3)(x + 1) = x^2 + 4x + 3 \]
Объединим оба выражения: \[ 4x^2 + 28x + 45 - (x^2 + 4x + 3) = 4x^2 + 28x + 45 - x^2 - 4x - 3 \] \[ = 3x^2 + 24x + 42 \]
Теперь неравенство выглядит так: \[ \frac{3x^2 + 24x + 42}{(x + 1)(2x + 9)} \leq 0 \]
Шаг 3: Нахождение корней
Теперь найдем корни числителя \( 3x^2 + 24x + 42 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 576 - 504 = 72 \]
Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{72}}{6} = \frac{-24 \pm 6\sqrt{2}}{6} = -4 \pm \sqrt{2} \]
Таким образом, мы получаем два корня: \[ x_1 = -4 - \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x_2 = -4 + \sqrt{2} \]
Шаг 4: Определение знаков выражения
Теперь нужно проанализировать знаки дроби:
- Определяем множество знаков в интервалах, определяемых корнями и нулями знаменателя:
- Точки: \( -4 - \sqrt{2}, -4 + \sqrt{2}, -1, -\frac{9}{2} \)
- Проверяем знаки на интервалах: \( (-\infty, -4 - \sqrt{2}) \), \( (-4 - \sqrt{2}, -4 + \sqrt{2}) \), \( (-4 + \sqrt{2}, -1) \), \( (-1, -\frac{9}{2}) \) и \( (-\frac{9}{2}, +\infty) \).
Проверьте, какой знак у числителя и знаменателя в каждом интервале. Обращаем внимание на то, что неравенство включает знак «меньше или равно», следовательно, в случае равенства (при нахождении корней) они должны быть включены.
Шаг 5: Запись итогового решения
После определения интервалов с отрицательными значениями, запишите все былые результаты в виде:
- Лежат ли корни за пределами рассматриваемого интервала.
- Включены ли точки в решение.
Также помните, что знаменатель не должен равняться нулю \( x + 1 \neq 0 \) и \( 2x + 9 \neq 0 \).
Пробежав по всем интервалам, вам нужно будет обозначить где ваше выражение меньше нуля или равно нулю и подтвердить, что вы включили все необходимые точки.
Таким образом, если у вас возникли трудности на каком-то этапе, вы всегда можете уточнить.
