Для решения этой задачи давайте разберемся с концепцией соединения объектов, которые в данном случае представлены грядками с тыквами. У нас есть 161 грядка, и каждые две грядки соединяет ровно одна дорожка. Это означает, что мы имеем дело с комбинаторикой, в частности, с комбинациями.
Когда у нас есть ( n ) объектов (в данном случае грядок), чтобы узнать, сколько дорожек (связей) может быть между ними, нам нужно вычислить количество способов выбрать 2 грядки из этих ( n ). Формула для этого выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это количество комбинаций, как мы выбираем ( k ) объектов из ( n ),
- ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до ( n ),
- ( k ) — это количество выбираемых объектов (в нашем случае 2 грядки),
- ( n ) — это общее количество объектов (в нашем случае 161 грядка).
Теперь подставим данные в формулу:
[
C(161, 2) = \frac{161!}{2!(161-2)!} = \frac{161!}{2! \cdot 159!}
]
Факториал ( 161! ) можно разложить так:
[
161! = 161 \times 160 \times 159!
]
Таким образом, мы можем упростить выражение:
[
C(161, 2) = \frac{161 \times 160 \times 159!}{2! \cdot 159!} = \frac{161 \times 160}{2!}
]
Теперь посчитаем ( 2! = 2 ):
[
C(161, 2) = \frac{161 \times 160}{2} = \frac{25760}{2} = 12880
]
Итак, в саду у Хагрида с 161 грядкой будет 12880 дорожек.
Ответ: В саду у Хагрида 12880 дорожек.
