задание 3. В саду у Хагрида, который находится в школе волшебства Хогвартс, есть 161 грядка с тыквами. Каждые две грядки соединяет ровно одна дорожка. Определи количество дорожек…

Для решения этой задачи давайте разберемся с концепцией соединения объектов, которые в данном случае представлены грядками с тыквами. У нас есть 161 грядка, и каждые две грядки соединяет ровно одна дорожка. Это означает, что мы имеем дело с комбинаторикой, в частности, с комбинациями.

Когда у нас есть \( n \) объектов (в данном случае грядок), чтобы узнать, сколько дорожек (связей) может быть между ними, нам нужно вычислить количество способов выбрать 2 грядки из этих \( n \). Формула для этого выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — это количество комбинаций, как мы выбираем \( k \) объектов из \( n \),
• \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до \( n \),
• \( k \) — это количество выбираемых объектов (в нашем случае 2 грядки),
• \( n \) — это общее количество объектов (в нашем случае 161 грядка).

Теперь подставим данные в формулу:

\[ C(161, 2) = \frac{161!}{2!(161-2)!} = \frac{161!}{2! \cdot 159!} \]

Факториал \( 161! \) можно разложить так:

\[ 161! = 161 \times 160 \times 159! \]

Таким образом, мы можем упростить выражение:

\[ C(161, 2) = \frac{161 \times 160 \times 159!}{2! \cdot 159!} = \frac{161 \times 160}{2!} \]

Теперь посчитаем \( 2! = 2 \):

\[ C(161, 2) = \frac{161 \times 160}{2} = \frac{25760}{2} = 12880 \]

Итак, в саду у Хагрида с 161 грядкой будет 12880 дорожек.

Ответ: В саду у Хагрида 12880 дорожек.