Основания трапеции равны 10 см 35 см, боковые сто­ роны — 15 см 20 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \] где: - \( S \) — площадь трапеции, - \( a \) и \( b \) — длины оснований трапеции, - \( h \) — высота трапеции. В данной задаче у нас есть: - Основания \( a = 10 \) см и \( b = 35 \) см, - Боковые стороны \( c = 15 \) см и \( d = 20 \) см. Для начала, нам необходимо найти высоту \( h \) трапеции. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой для высоты: Сначала найдём среднюю линию трапеции, которая равна половине суммы оснований: \[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{10 + 35}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \text{ см} \] Теперь можно представить трапецию как два прямоугольных треугольника, которые формируются при проведении перпендикуляров от верхнего основания к нижнему. Обозначим: - \( h \) — высота трапеции, - \( x \) — длина основания одного из треугольников для высоты. Тогда можно выразить \( x \) через длины сторон: 1. Для одного из треугольников (где боковая сторона 15 см): \[ x^2 + h^2 = 15^2 \] 2. Для другого треугольника (где боковая сторона 20 см): \[ (25 - x)^2 + h^2 = 20^2 \quad (\text{так как } 25 \text{ см — это разность между 35 см и 10 см}) \] Теперь у нас есть две уравнения: 1. \( x^2 + h^2 = 225 \) (1) 2. \( (25 - x)^2 + h^2 = 400 \) (2) Раскроем второе уравнение (2): \[ 625 - 50x + x^2 + h^2 = 400 \] В упрощённом виде получим: \[ x^2 + h^2 - 50x + 625 - 400 = 0 \] Сведём всё к одному виду, и подставим из первого уравнения (1): \[ 225 - 50x + 225 = 0 \implies -50x + 225 = -225 \implies -50x = -450 \implies x = 9 \text{ см} \] Теперь подставляем значение \( x \) в первое уравнение (1): \[ 9^2 + h^2 = 225 \] \[ 81 + h^2 = 225 \implies h^2 = 225 - 81 = 144 \implies h = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \] Теперь, когда мы нашли высоту, подставим её в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (10 + 35) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 12 \] \[ S = \frac{540}{2} = 270 \text{ см}^2 \] Таким образом, площадь трапеции составляет \( 270 \text{ см}^2 \).