Найди сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b6 = 1/10 и q = 1/5.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, когда известен шестой член \( b_6 \) и знаменатель прогрессии \( q \), шаги будут следующими: 1. **Определим общий вид геометрической прогрессии.** Члены геометрической прогрессии можно записать как: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] где \( b_n \) - n-ый член прогрессии, \( b_1 \) - первый член, \( q \) - знаменатель прогрессии, и \( n \) - номер члена прогрессии. 2. **Запишем уравнение для шестого члена.** Для шестого члена мы знаем: \[ b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 \] У нас есть значение \( b_6 = \frac{1}{10} \) и \( q = \frac{1}{5} \). Подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{1}{10} = b_1 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^5 \] 3. **Вычислим \( q^5 \).** \[ \left( \frac{1}{5} \right)^5 = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125} \] 4. **Подставим это значение в уравнение и найдем \( b_1 \):** \[ \frac{1}{10} = b_1 \cdot \frac{1}{3125} \] Умножим обе стороны на 3125: \[ 3125 \cdot \frac{1}{10} = b_1 \] \[ b_1 = 312.5 \] 5. **Теперь найдем первые пять членов прогрессии.** Первый член \( b_1 = 312.5 \): - \( b_1 = 312.5 \) - \( b_2 = b_1 \cdot q = 312.5 \cdot \frac{1}{5} = 62.5 \) - \( b_3 = b_2 \cdot q = 62.5 \cdot \frac{1}{5} = 12.5 \) - \( b_4 = b_3 \cdot q = 12.5 \cdot \frac{1}{5} = 2.5 \) - \( b_5 = b_4 \cdot q = 2.5 \cdot \frac{1}{5} = 0.5 \) 6. **Теперь найдём сумму первых пяти членов:** \[ S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 \] Подставим найденные значения: \[ S_5 = 312.5 + 62.5 + 12.5 + 2.5 + 0.5 \] Сначала посчитаем это поэтапно: - \( 312.5 + 62.5 = 375 \) - \( 375 + 12.5 = 387.5 \) - \( 387.5 + 2.5 = 390 \) - \( 390 + 0.5 = 390.5 \) Итак, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна: \[ S_5 = 390.5 \]