Седьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии равны 99 и 0.8019 соответственно. Найди сумму членов прогрессии, заключённых между ними.
Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.
Обозначим элементы прогрессии:
- Пусть первый член прогрессии равен \( a \), а знаменатель прогрессии — \( q \).
- В геометрической прогрессии \( n \)-й член можно выразить как:
\[ a_n = a \cdot q^{n-1} \]
Запишем информацию о седьмом и одиннадцатом членах:
- Седьмой член:
\[ a_7 = a \cdot q^6 = 99 \] - Одиннадцатый член:
\[ a_{11} = a \cdot q^{10} = 0.8019 \]
- Седьмой член:
Составим систему уравнений: У нас есть два уравнения: \[ \begin{cases} a \cdot q^6 = 99 \\ a \cdot q^{10} = 0.8019 \end{cases} \]
Решим систему уравнений. От первого уравнения выразим \( a \): \[ a = \frac{99}{q^6} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ \frac{99}{q^6} \cdot q^{10} = 0.8019 \] Упростим: \[ 99 \cdot q^4 = 0.8019 \] Теперь найдём \( q^4 \): \[ q^4 = \frac{0.8019}{99} \] \[ q^4 \approx 0.0081 \] Теперь найдём \( q \): \[ q \approx \sqrt[4]{0.0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{3}{10} = 0.3 \]
Найдём \( a \): Подставим значение \( q \) обратно в первое уравнение: \[ a \cdot (0.3)^6 = 99 \] \( (0.3)^6 = 0.000729 \), то есть: \[ a \cdot 0.000729 = 99 \] Следовательно: \[ a = \frac{99}{0.000729} \approx 135000 \]
Теперь найдём сумму членов между седьмым и одиннадцатым: Нам нужны члены с 8 по 10. Сумма этих членов вычисляется по формуле: \[ S = a_8 + a_9 + a_{10} \] где: \[ a_8 = a \cdot q^7, \quad a_9 = a \cdot q^8, \quad a_{10} = a \cdot q^9 \] Сумма равна: \[ S = a \cdot q^7 (1 + q + q^2) \] Подставим \( a \) и \( q \): \[ a \cdot q^7 = 135000 \cdot (0.3)^7 \] \( (0.3)^7 = 0.0002187 \), значит: \[ a \cdot q^7 \approx 135000 \cdot 0.0002187 \approx 29.5 \] Теперь давайте найдём \( 1 + q + q^2 \): \[ 1 + 0.3 + (0.3)^2 = 1 + 0.3 + 0.09 = 1.39 \] Поэтому: \[ S \approx 29.5 \cdot 1.39 \approx 41.03 \]
Итак, сумма членов прогрессии, заключённых между седьмым и одиннадцатым, примерно равна 41.03.
