4. Два проводника при последовательном соединении дают сопротивление 27 Ом, при параллельном соединении-6 Ом. Определить величины сопротивлений.

Давайте решим эту задачу поэтапно. Итак, у нас есть два сопротивления, которые обозначим как \( R_1 \) и \( R_2 \).

Шаг 1: Условия задачи

1. При последовательном соединении сопротивления: \[ R_s = R_1 + R_2 = 27 \, \text{Ом} \quad \text{(1)} \]

2. При параллельном соединении сопротивления: \[ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 6 \, \text{Ом} \quad \text{(2)} \]

Шаг 2: Запишем уравнение для параллельного соединения

Для уравнения (2) перекладываем в более удобный вид: \[ R_p = 6 \implies \frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} \] Подставим в это уравнение \( R_1 \) и \( R_2 \): \[ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{6} \]

Шаг 3: Выражение для одной переменной

Из уравнения (1) \( R_1 + R_2 = 27 \) можно выразить одно сопротивление через другое. Позволим \( R_2 = 27 - R_1 \), и подставим это значение в уравнение параллельного соединения:

\[ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{27 - R_1} = \frac{1}{6} \]

Шаг 4: Объединим дроби и решим уравнение

Умножим обе стороны на \( 6 R_1 (27 - R_1) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 6(27 - R_1) + 6R_1 = R_1(27 - R_1) \] Упростим это уравнение: \[ 162 - 6R_1 + 6R_1 = 27R_1 - R_1^2 \] \[ 162 = 27R_1 - R_1^2 \]

Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду

Переписываем уравнение: \[ R_1^2 - 27R_1 + 162 = 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 162 = 729 - 648 = 81 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ R_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 \pm 9}{2} \]

Шаг 7: Найдем \( R_1 \)

1. Первый корень: \[ R_1 = \frac{27 + 9}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{Ом} \]
2. Второй корень: \[ R_1 = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{Ом} \]

Шаг 8: Найдем \( R_2 \)

Теперь подставим значение \( R_1 \) для нахождения \( R_2 \):

• Если \( R_1 = 18 \): \[ R_2 = 27 - 18 = 9 \, \text{Ом} \]
• Если \( R_1 = 9 \): \[ R_2 = 27 - 9 = 18 \, \text{Ом} \]

Ответ

Таким образом, сопротивления двух проводников:

• \( R_1 = 18 \, \text{Ом} \)
• \( R_2 = 9 \, \text{Ом} \)

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные задачи! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.