Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой разностью равен 60. Известно, что первый, седьмой и двадцать пятый члены составляют геометрическую прогрессию. Найдите…

Для решения данной задачи давайте вспомним, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии.

Шаг 1: Понятия прогрессий

1. Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Обозначим:

   • \( a_1 \) — первый член АП,
   • \( d \) — разность АП (она ненулевая).

   Номер \( n \)-го члена АП может быть найден по формуле: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

2. Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой отношение между любыми двумя последовательными членами постоянна. Обозначим:

   • \( b_1 = a_1 \),
   • \( b_2 = a_7 \),
   • \( b_3 = a_{25} \).

   Условие, что члены \( b_1, b_2, b_3 \) являются геометрической прогрессией, можно записать как: \[ b_2^2 = b_1 \cdot b_3 \]

Шаг 2: Найдем выражения для членов АП

Найдем оставшиеся члены АП:

• Восьмой член: \[ a_8 = a_1 + 7d = 60 \quad (1) \]

• Первый член: \[ a_1 = a_1 \quad (2) \]

• Седьмой член: \[ a_7 = a_1 + 6d \quad (3) \]

• Двадцать пятый член: \[ a_{25} = a_1 + 24d \quad (4) \]

Шаг 3: Подставим в условие геометрической прогрессии

Теперь подставим эти выражения в формулу для ГП: \[ (a_1 + 6d)^2 = a_1 \cdot (a_1 + 24d) \quad (5) \]

Шаг 4: Раскроем уравнение

Раскроем левые и правые части уравнения (5):

1. Левая часть: \[ (a_1 + 6d)^2 = a_1^2 + 12a_1d + 36d^2 \]

2. Правая часть: \[ a_1(a_1 + 24d) = a_1^2 + 24a_1d \]

Шаг 5: Уравнение

Приравняем обе части: \[ a_1^2 + 12a_1d + 36d^2 = a_1^2 + 24a_1d \] Сократим \( a_1^2 \) и упорядочим уравнение: \[ 12a_1d + 36d^2 = 24a_1d \] Выразим все члены со \( a_1d \) в одну сторону: \[ 36d^2 = (24a_1d - 12a_1d) \] \[ 36d^2 = 12a_1d \]

Шаг 6: Упростим уравнение

Поделим обе части уравнения на \( 12d \) (где \( d \neq 0 \)): \[ 3d = a_1 \quad (6) \]

Теперь мы можем выразить \( a_1 \) через \( d \). Подставим (6) в (1): \[ 3d + 7d = 60 \] \[ 10d = 60 \] \[ d = 6 \]

Теперь подставляем \( d \) в (6) и находим \( a_1 \): \[ a_1 = 3d = 3 \cdot 6 = 18 \]

Шаг 7: Найдем остальные члены

Теперь найдем \( a_7 \) и \( a_{25} \):

• \( a_7 = 18 + 6 \cdot 6 = 54 \)
• \( a_{25} = 18 + 24 \cdot 6 = 162 \)

Шаг 8: Проверим пропорцию для ГП

1. \( b_1 = 18 \)
2. \( b_2 = 54 \)
3. \( b_3 = 162 \)

Проверим условие: \[ 54^2 = 18 \cdot 162 \]

• Левая часть: \[ 54^2 = 2916 \]
• Правая часть: \[ 18 \cdot 162 = 2916 \] Оба равенства выполнены, значит члены прогрессии действительно образуют ГП.

Шаг 9: Найдем знаменатель Геометрической прогрессии

Теперь найдём знаменатель геометрической прогрессии \( q \): \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{54}{18} = 3 \] или \[ q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{162}{54} = 3 \]

Ответ

Знаменатель геометрической прогрессии равен 3.