Для решения этой задачи начнем с обозначения необходимых переменных и дальнейших рассуждений.
Обозначим:
- ( V ) - общий объем бака (в литрах).
- ( v ) - скорость заполнения всего бака (литров в час).
- ( t_1 ) - время, затраченное на заполнение первой части бака.
- ( t_2 ) - время, затраченное на заполнение второй части бака.
- ( V_1 ) - объем первой части бака.
- ( V_2 ) - объем второй части бака.
1. Определим скорости и время заполнения частей бака.
Согласно условиям задачи, первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака:
[
v_1 = \frac{v}{2}
]
Скорость заполнения второй части увеличилась в 3 раза по сравнению со скоростью заполнения первой части:
[
v_2 = 3v_1 = 3 \cdot \frac{v}{2} = \frac{3v}{2}
]
Теперь можем связать объемы частей бака и время заполнения.
Объем первой части можно выразить через объем и скорость:
[
V_1 = v_1 \cdot t_1 = \frac{v}{2} \cdot t_1
]
Объем второй части заполнившейся за время ( t_2 ):
[
V_2 = v_2 \cdot t_2 = \frac{3v}{2} \cdot t_2
]
2. Найдем отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака.
Общий объем бака можно выразить как сумму объемов его частей:
[
V = V_1 + V_2
]
Подставляем значения для этих объемов:
[
V = \frac{v}{2} \cdot t_1 + \frac{3v}{2} \cdot t_2
]
Чтобы найти отношение времён, получится следующее:
[
V = \frac{v}{2} t_1 + \frac{3v}{2} t_2
]
Можно упростить это уравнение, разделив его на ( v ):
[
\frac{V}{v} = \frac{1}{2} t_1 + \frac{3}{2} t_2
]
Теперь выразим ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{V}{v} = \frac{1}{2} t_1 + \frac{3}{2} t_2
]
Решив это уравнение для ( t_1 ) и ( t_2 ), мы получим:
Перепишем:
[
\frac{V}{v} - \frac{3}{2} t_2 = \frac{1}{2} t_1
]
Отсюда получаем:
[
t_1 = \frac{2}{1} \left(\frac{V}{v} - \frac{3}{2} t_2\right) = 2 \cdot \frac{V}{2v} - 3t_2
]
Чтобы найти отношение времен, требуется сумма:
[
\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3}
]
3. Найдите отношение объемов второй и первой частей бака.
Отношение объемов ( V_2 ) и ( V_1 ):
[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{3v}{2} \cdot t_2}{\frac{v}{2} \cdot t_1} = \frac{3 \cdot t_2}{t_1}
]
Подставив найденное ранее:
[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{3 \cdot t_2}{\frac{1}{3} t_2} = 9
]
Таким образом, мы нашли:
- Отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака: ( 1:3 ).
- Отношение объёмов второй и первой частей бака: ( 9:1 ).
