Дачник собирал дождевую воду в бак. Первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака. Но затем дождь усилился, и скорость…

Для решения этой задачи начнем с обозначения необходимых переменных и дальнейших рассуждений.

Обозначим:

• \( V \) - общий объем бака (в литрах).
• \( v \) - скорость заполнения всего бака (литров в час).
• \( t_1 \) - время, затраченное на заполнение первой части бака.
• \( t_2 \) - время, затраченное на заполнение второй части бака.
• \( V_1 \) - объем первой части бака.
• \( V_2 \) - объем второй части бака.

1. Определим скорости и время заполнения частей бака.

Согласно условиям задачи, первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака:

\[ v_1 = \frac{v}{2} \]

Скорость заполнения второй части увеличилась в 3 раза по сравнению со скоростью заполнения первой части:

\[ v_2 = 3v_1 = 3 \cdot \frac{v}{2} = \frac{3v}{2} \]

Теперь можем связать объемы частей бака и время заполнения.

Объем первой части можно выразить через объем и скорость:

\[ V_1 = v_1 \cdot t_1 = \frac{v}{2} \cdot t_1 \]

Объем второй части заполнившейся за время \( t_2 \):

\[ V_2 = v_2 \cdot t_2 = \frac{3v}{2} \cdot t_2 \]

2. Найдем отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака.

Общий объем бака можно выразить как сумму объемов его частей:

\[ V = V_1 + V_2 \]

Подставляем значения для этих объемов:

\[ V = \frac{v}{2} \cdot t_1 + \frac{3v}{2} \cdot t_2 \]

Чтобы найти отношение времён, получится следующее:

\[ V = \frac{v}{2} t_1 + \frac{3v}{2} t_2 \]

Можно упростить это уравнение, разделив его на \( v \):

\[ \frac{V}{v} = \frac{1}{2} t_1 + \frac{3}{2} t_2 \]

Теперь выразим \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{V}{v} = \frac{1}{2} t_1 + \frac{3}{2} t_2 \]

Решив это уравнение для \( t_1 \) и \( t_2 \), мы получим:

Перепишем:

\[ \frac{V}{v} - \frac{3}{2} t_2 = \frac{1}{2} t_1 \]

Отсюда получаем:

\[ t_1 = \frac{2}{1} \left(\frac{V}{v} - \frac{3}{2} t_2\right) = 2 \cdot \frac{V}{2v} - 3t_2 \]

Чтобы найти отношение времен, требуется сумма:

\[ \frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{3} \]

3. Найдите отношение объемов второй и первой частей бака.

Отношение объемов \( V_2 \) и \( V_1 \):

\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{3v}{2} \cdot t_2}{\frac{v}{2} \cdot t_1} = \frac{3 \cdot t_2}{t_1} \]

Подставив найденное ранее:

\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{3 \cdot t_2}{\frac{1}{3} t_2} = 9 \]

Таким образом, мы нашли:

1. Отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака: \( 1:3 \).
2. Отношение объёмов второй и первой частей бака: \( 9:1 \).