В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё…
В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 350 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Чтобы решить задачу, давайте разберемся с данными и сделаем необходимые расчетные шаги.
Исходные данные:
- У нас есть акции с ценами: 100, 200, 300, 400 и 500 рублей.
- Средняя цена акций до покупки последней акции (за 500 рублей) составляет 333 рубля.
Понятие средней цены: Средняя цена акций рассчитывается следующим образом: \[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Сумма цен акций}}{\text{Количество акций}} \] Обозначим количество акций до покупки как \( n \), а сумму цен этих акций как \( S \). Следовательно, у нас есть уравнение: \[ \frac{S}{n} = 333 \] Из этого уравнения можно выразить сумму: \[ S = 333n \]
Дополнение акций: После покупки еще одной акции (за 500 рублей) общее количество акций стало \( n + 1 \), а общая сумма цен стала \( S + 500 \). Новая средняя цена акций теперь выражается как: \[ \frac{S + 500}{n + 1} \] По условию, эта новая средняя цена меньше 350 рублей: \[ \frac{S + 500}{n + 1} < 350 \] Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (при этом \( n + 1 > 0 \)): \[ S + 500 < 350(n + 1) \] Перейдем к упрощению: \[ S + 500 < 350n + 350 \] Подставляя значение \( S = 333n \): \[ 333n + 500 < 350n + 350 \] Переносим все члены с \( n \) в одну часть уравнения: \[ 500 - 350 < 350n - 333n \] Проводим упрощение: \[ 150 < 17n \] Разделим обе стороны на 17: \[ n > \frac{150}{17} \approx 8.82 \] Поскольку \( n \) должно быть целым числом, минимальное значение \( n \) будет 9.
Проверка: Теперь проверим, равно ли \( n = 9 \) сумме, которая удовлетворяет всем условиям. Если \( n = 9 \): \[ S = 333 \times 9 = 2997 \] После покупки одной акции за 500 рублей: \[ S + 500 = 2997 + 500 = 3497 \] Общее количество акций: \[ n + 1 = 9 + 1 = 10 \] Проверим среднюю цену: \[ \frac{3497}{10} = 349.7 \] Это значение, действительно, меньше 350. Поэтому, минимальное количество акций у акционера Б. до покупки последней акции равно 9.
Ответ: Наименьшее количество акций, которое могло быть у Б. до покупки последней акции, равно 9.
