Чтобы найти разность арифметической прогрессии, начнём с того, что у нас есть значения двух членов прогрессии: ( a_4 = 28.5 ) и ( a_9 = 54 ).
Арифметическая прогрессия имеет общую формулу для n-го члена:
[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
]
где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( d ) — разность прогрессии, а ( n ) — номер члена.
Шаг 1: Запись уравнений для членов прогрессии
Для ( a_4 ):
[
a_4 = a_1 + (4-1) \cdot d = a_1 + 3d
]
Подставляем значение ( a_4 = 28.5 ):
[
a_1 + 3d = 28.5 \quad (1)
]
Для ( a_9 ):
[
a_9 = a_1 + (9-1) \cdot d = a_1 + 8d
]
Подставляем значение ( a_9 = 54 ):
[
a_1 + 8d = 54 \quad (2)
]
Шаг 2: Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( a_1 + 3d = 28.5 )
- ( a_1 + 8d = 54 )
Мы можем вычесть первое уравнение из второго, чтобы избавиться от ( a_1 ):
[
(a_1 + 8d) - (a_1 + 3d) = 54 - 28.5
]
Упрощаем уравнение:
[
8d - 3d = 54 - 28.5
]
[
5d = 25.5
]
Шаг 3: Найти разность d
Теперь делим обе стороны на 5:
[
d = \frac{25.5}{5} = 5.1
]
Шаг 4: Проверка результата
Теперь, чтобы убедиться, что мы верно нашли ( d ), подставим значение ( d ) обратно в одно из уравнений и найдем ( a_1 ). Используем первое уравнение:
[
a_1 + 3 \cdot 5.1 = 28.5
]
[
a_1 + 15.3 = 28.5
]
[
a_1 = 28.5 - 15.3 = 13.2
]
Теперь проверим второе уравнение:
[
a_1 + 8 \cdot 5.1 = 54
]
[
13.2 + 40.8 = 54
]
Такое равенство верно, значит, наши вычисления верны.
Ответ
Разность арифметической прогрессии ( d = 5.1 ).
