процент вероятности рождения девочки равен 45%. чему равно отношение вероятности рождения ровно пяти девочек и вероятности рождения ровно 3 девочек среди 11 рождённых детей?
Давайте решим задачу и разберёмся с понятием вероятности, используя формулу биномиального распределения.
У нас есть вероятность рождения девочки \( p = 0.45 \) и вероятность рождения мальчика \( q = 1 - p = 0.55 \). Мы хотим найти отношение вероятности рождения ровно 5 девочек и вероятности рождения ровно 3 девочек среди 11 рождённых детей.
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что события описываемые биномиальным распределением произойдут \( k \) раз из \( n \) испытаний, даётся формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, вероятность рождения девочки)
- \( q \) — вероятность неудачи (в нашем случае, вероятность рождения мальчика)
Шаг 1: Вычислим вероятность рождения ровно 5 девочек
Подставим наши значения:
- \( n = 11 \)
- \( k = 5 \)
- \( p = 0.45 \)
- \( q = 0.55 \)
- Находим биномиальный коэффициент \( C(11, 5) \):
\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462 \]
- Теперь подставим всё в формулу:
\[ P(X = 5) = C(11, 5) \cdot p^5 \cdot q^{11-5} \]
\[ P(X = 5) = 462 \cdot (0.45)^5 \cdot (0.55)^6 \]
Теперь вычислим:
\[ (0.45)^5 \approx 0.0185 \] \[ (0.55)^6 \approx 0.0503 \]
Подставляем:
\[ P(X = 5) \approx 462 \cdot 0.0185 \cdot 0.0503 \approx 0.426 \]
Шаг 2: Вычислим вероятность рождения ровно 3 девочек
Теперь сделаем то же самое для \( k = 3 \).
- Находим биномиальный коэффициент \( C(11, 3) \):
\[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 \]
- Подставим в формулу:
\[ P(X = 3) = C(11, 3) \cdot p^3 \cdot q^{11-3} \]
\[ P(X = 3) = 165 \cdot (0.45)^3 \cdot (0.55)^8 \]
Теперь вычислим:
\[ (0.45)^3 \approx 0.0911 \] \[ (0.55)^8 \approx 0.0278 \]
Подставляем:
\[ P(X = 3) \approx 165 \cdot 0.0911 \cdot 0.0278 \approx 0.409 \]
Шаг 3: Находим отношение вероятностей
Теперь, когда у нас есть обе вероятности, найдём их отношение:
\[ \text{Отношение} = \frac{P(X = 5)}{P(X = 3)} \approx \frac{0.426}{0.409} \approx 1.041 \]
Таким образом, отношение вероятности рождения 5 девочек к вероятности рождения 3 девочек среди 11 рождённых детей примерно равно \( 1.041 \) (или можно округлить по желанию).
Это окончательный ответ.
