Игральный кубик бросают пять раз. Найдите вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 4 раза. Ответ округлите до тысячных.
Чтобы найти вероятность того, что при пяти бросках игрального кубика 6 очков выпадет ровно 4 раза, мы можем использовать формулу биномиального распределения.
Шаг 1: Определим параметры задачи
- n — общее количество испытаний (бросков кубика). В нашем случае \(n = 5\).
- k — количество успешных испытаний. Здесь нам нужно, чтобы 6 выпало ровно 4 раза, значит \(k = 4\).
- p — вероятность удачи (в нашем случае, выпадение 6). Поскольку на кубике 6 граней и только одна из них — это шестерка, то \(p = \frac{1}{6}\).
- q — вероятность неудачи, то есть выпадение любого другого числа. \(q = 1 - p = \frac{5}{6}\).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаг 3: Подставим значения в формулу
- Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot q^{5-4} \]
\[ P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 \]
Теперь подставим значения:
\[ P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} \]
Шаг 4: Упрощение выражения
Теперь упростим:
\[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1 \cdot 5}{1296 \cdot 6} = 5 \cdot \frac{5}{7776} = \frac{25}{7776} \]
Шаг 5: Вычисление и округление
Теперь делим 25 на 7776 и округляем до тысячных:
\[ P(X = 4) \approx 0.003215 \]
Округляя до тысячных, мы получаем 0.003.
Ответ
Вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 4 раза при пяти бросках игрального кубика, составляет:
\[ \boxed{0.003} \]
