Чтобы решить эту задачу и определить, сколько будет выпускать производитель, стремящийся к максимизации прибыли, следуем пошагово.
Шаг 1: Понять, что такое средние общие издержки (ATC)
Функция средних общих издержек (ATC) представляется в виде:
[
ATC = \frac{100}{Q} + 2 + 0.01 \cdot Q
]
где ( Q ) — объем производства.
Шаг 2: Определить условия для максимизации прибыли
При максимизации прибыли производитель будет выпускать такое количество продукции ( Q ), при котором предельные издержки (MC) равны рыночной цене (P). Предельные издержки можно найти, взяв производную функции общих издержек (TC) по количеству продукции:
[
MC = \frac{d(TC)}{dQ}
]
Однако, мы не имеем напрямую функцию общих издержек (TC), но можем выразить её через средние издержки (ATC):
[
TC = ATC \cdot Q
]
Шаг 3: Найти общие издержки
Сначала нам нужно выразить ATC в виде TC:
[
TC = \left( \frac{100}{Q} + 2 + 0.01Q \right) Q = 100 + 2Q + 0.01Q^2
]
Шаг 4: Найти предельные издержки (MC)
Теперь найдем предельные издержки, взяв производную от TC:
[
MC = \frac{d}{dQ}(100 + 2Q + 0.01Q^2) = 2 + 0.02Q
]
Шаг 5: Установить равенство MC и P
Для максимизации прибыли мы устанавливаем предельные издержки равными рыночной цене:
[
MC = P
]
Подставим известное значение рыночной цены (( P = 22 )):
[
2 + 0.02Q = 22
]
Шаг 6: Решить уравнение
Решаем это уравнение:
[
0.02Q = 22 - 2
]
[
0.02Q = 20
]
[
Q = \frac{20}{0.02} = 1000
]
Ответ
Производитель, стремящийся к максимизации прибыли, будет выпускать 1000 единиц продукции.
Заключение
Таким образом, для нахождения оптимального объема производства необходимо было установить равенство между предельными издержками и рыночной ценой. В итоге, производитель при данном уровне цены будет выпускать 1000 единиц, что соответствует максимизации прибыли.
