Для решения задачи начнем с понимания, что Миша использовал формулу для вычисления количества способов выбрать 4 книги из некоторого количества n книг. Это количество вычисляется с помощью формулы сочетаний, которая выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это количество сочетаний (количество способов выбрать k объектов из n),
- ( n! ) (n факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n,
- ( k ) — это количество выбираемых объектов (в нашем случае 4 книги),
- ( (n-k)! ) — факториал от (n-k).
В нашем случае:
[
C(n, 4) = \frac{n!}{4!(n-4)!} = 126
]
Здесь ( k = 4 ), и нам нужно найти ( n ).
Сначала мы можем выразить ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Подставим это значение в уравнение:
[
\frac{n!}{24(n-4)!} = 126
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 24:
[
n! = 126 \times 24 \times (n-4)!
]
Посчитаем ( 126 \times 24 ):
[
126 \times 24 = 3024
]
Таким образом, у нас получается:
[
n! = 3024 \times (n-4)!
]
Теперь можем разделить обе стороны на ( (n-4)! ):
[
\frac{n!}{(n-4)!} = 3024
]
Согласно свойству факториалов:
[
\frac{n!}{(n-4)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
n(n-1)(n-2)(n-3) = 3024
]
Для нахождения ( n ) нужно перебрать несколько значений, пока не получится равенство. Начнем с поиска возможного ( n ).
Если ( n = 7 ):
[
7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \quad (\text{меньше 3024})
]
Если ( n = 8 ):
[
8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680 \quad (\text{меньше 3024})
]
Если ( n = 9 ):
[
9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 \quad (\text{равно 3024})
]
Таким образом, подошли к решению. Мы нашли, что общее количество книг, из которых выбирал Миша, равно 9.
Ответ: 9 книг.
