Миша рассчитал, что всего есть 126 вариантов выбрать 4 книги. Найди общее количество книг, из которых выбирал Миша.

Для решения задачи начнем с понимания, что Миша использовал формулу для вычисления количества способов выбрать 4 книги из некоторого количества n книг. Это количество вычисляется с помощью формулы сочетаний, которая выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — это количество сочетаний (количество способов выбрать k объектов из n),
• \( n! \) (n факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n,
• \( k \) — это количество выбираемых объектов (в нашем случае 4 книги),
• \( (n-k)! \) — факториал от (n-k).

В нашем случае:

\[ C(n, 4) = \frac{n!}{4!(n-4)!} = 126 \]

Здесь \( k = 4 \), и нам нужно найти \( n \).

Сначала мы можем выразить \( 4! \):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Подставим это значение в уравнение:

\[ \frac{n!}{24(n-4)!} = 126 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 24:

\[ n! = 126 \times 24 \times (n-4)! \]

Посчитаем \( 126 \times 24 \):

\[ 126 \times 24 = 3024 \]

Таким образом, у нас получается:

\[ n! = 3024 \times (n-4)! \]

Теперь можем разделить обе стороны на \( (n-4)! \):

\[ \frac{n!}{(n-4)!} = 3024 \]

Согласно свойству факториалов:

\[ \frac{n!}{(n-4)!} = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ n(n-1)(n-2)(n-3) = 3024 \]

Для нахождения \( n \) нужно перебрать несколько значений, пока не получится равенство. Начнем с поиска возможного \( n \).

1. Если \( n = 7 \): \[ 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \quad (\text{меньше 3024}) \]

2. Если \( n = 8 \): \[ 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680 \quad (\text{меньше 3024}) \]

3. Если \( n = 9 \): \[ 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 \quad (\text{равно 3024}) \]

Таким образом, подошли к решению. Мы нашли, что общее количество книг, из которых выбирал Миша, равно 9.

Ответ: 9 книг.