Найдите все первообразные функции f (x) = 6x^2 - 4x + 3.

Чтобы найти первообразные функции для \( f(x) = 6x^2 - 4x + 3 \), нужно выполнить интеграцию данной функции. Простейший способ нахождения первообразной — это использовать правила интегрирования для каждого члена функции. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Интегрирование каждого члена

Функция \( f(x) \) состоит из трех членов: \( 6x^2 \), \( -4x \) и \( 3 \). Используем следующие правила интегрирования:

1. Интеграл от \( x^n \) равен \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (где \( C \) — произвольная постоянная).
2. Интеграл от константы \( k \) равен \( kx + C \).

Шаг 2: Найдем первообразные для каждого члена

1. Для первого члена \( 6x^2 \): \[ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \]

2. Для второго члена \( -4x \): \[ \int -4x \, dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \]

3. Для третьего члена \( 3 \): \[ \int 3 \, dx = 3x \]

Шаг 3: Сложим все результаты и добавим постоянную

Теперь складываем результаты, полученные из интегрирования каждого члена: \[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \]

Где \( C \) — произвольная константа, представляющая собой множество возможных первообразных функции.

Ответ

Таким образом, первообразная функция для \( f(x) = 6x^2 - 4x + 3 \) равна: \[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.