Пусть F (x) - первообразная функции f (x) на некотором промежутке. Тогда какая из функций является первообразной функции af (x)?

Чтобы понять, какая функция является первообразной для функции \( af(x) \), где \( a \) - это константа, давайте вспомним определение первообразной.

1. Определение первообразной: Первообразной функции \( f(x) \) называется такая функция \( F(x) \), что: \[ F'(x) = f(x) \] Это означает, что производная функции \( F \) равна функции \( f \).

2. Применим свойство производной: Если \( F(x) \) - это первообразная функции \( f(x) \), то по определению мы можем записать: \[ F'(x) = f(x) \]

Теперь рассмотрим функцию \( af(x) \), где \( a \) - константа. Мы хотим найти такую функцию \( G(x) \), что: \[ G'(x) = af(x) \]

3. Применение константы: Если \( G(x) = aF(x) \), то по правилу производной для произведения скалярной константы и функции мы можем использовать следующее свойство: \[ G'(x) = a F'(x) \]

Так как по определению \( F'(x) = f(x) \), подставим это в уравнение: \[ G'(x) = a f(x) \]

Это означает, что производная функции \( G(x) = aF(x) \) равна функции \( af(x) \).

4. Ответ: Таким образом, первообразной функции \( af(x) \) будет: \[ G(x) = aF(x) + C \] где \( C \) - произвольная константа интегрирования.

Итог: Если \( F(x) \) - первообразная функции \( f(x) \), то первообразной функции \( af(x) \) будет \( aF(x) + C \).