В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в…

Чтобы понять, как изменится уровень воды в мензурке, нам нужно рассчитать объем, который займут металлические шарики, и затем узнать, на сколько это повлияет на уровень воды в мензурке.

1. Найдем объем одного металлического шарика:

Формула для вычисления объема \(V\) сферы: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] где \(r\) — радиус сферы.

Диаметр шарика равен 1 см, значит радиус будет: \[ r = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0,5 \text{ см} \]

Теперь подставим радиус в формулу: \[ V = \frac{4}{3} \pi (0,5)^3 \] \[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{4 \pi}{24} = \frac{\pi}{6} \text{ см}^3 \]

2. Найдем общий объем 4 шариков: \[ V_{\text{общ}} = 4 \cdot V = 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ см}^3 \]

3. Найдем изменение уровня воды в цилиндрической мензурке:

Формула для объема цилиндра: \[ V = S \cdot h \] где \(S\) — площадь основания цилиндра, \(h\) — высота (или изменение уровня воды).

Площадь основания круга рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \(r\) — радиус цилиндра.

Диаметр мензурки равен 2,5 см, значит радиус: \[ r = \frac{2,5 \text{ см}}{2} = 1,25 \text{ см} \]

Теперь находим площадь основания: \[ S = \pi (1,25)^2 = \pi \cdot 1,5625 = 1,5625\pi \text{ см}^2 \]

Теперь мы можем выразить изменение уровня воды \(h\) через объем, который займут шарики: \[ V_{\text{общ}} = S \cdot h \] Заменим \(S\) и \(V_{\text{общ}}\): \[ \frac{2\pi}{3} = 1,5625\pi \cdot h \]

4. Решим уравнение для \(h\): Сократим \(\pi\): \[ \frac{2}{3} = 1,5625 \cdot h \] Теперь выразим \(h\): \[ h = \frac{2}{3 \cdot 1,5625} \] \[ h \approx \frac{2}{4,6875} \approx 0,426 \text{ см} \]

Таким образом, уровень воды в мензурке изменится примерно на 0,426 см или 4,26 мм.