Чтобы понять, как изменится уровень воды в мензурке, нам нужно рассчитать объем, который займут металлические шарики, и затем узнать, на сколько это повлияет на уровень воды в мензурке.
- Найдем объем одного металлического шарика:
Формула для вычисления объема (V) сферы:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
где (r) — радиус сферы.
Диаметр шарика равен 1 см, значит радиус будет:
[
r = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0,5 \text{ см}
]
Теперь подставим радиус в формулу:
[
V = \frac{4}{3} \pi (0,5)^3
]
[
V = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{4 \pi}{24} = \frac{\pi}{6} \text{ см}^3
]
Найдем общий объем 4 шариков:
[
V_{\text{общ}} = 4 \cdot V = 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \text{ см}^3
]
Найдем изменение уровня воды в цилиндрической мензурке:
Формула для объема цилиндра:
[
V = S \cdot h
]
где (S) — площадь основания цилиндра, (h) — высота (или изменение уровня воды).
Площадь основания круга рассчитывается по формуле:
[
S = \pi r^2
]
где (r) — радиус цилиндра.
Диаметр мензурки равен 2,5 см, значит радиус:
[
r = \frac{2,5 \text{ см}}{2} = 1,25 \text{ см}
]
Теперь находим площадь основания:
[
S = \pi (1,25)^2 = \pi \cdot 1,5625 = 1,5625\pi \text{ см}^2
]
Теперь мы можем выразить изменение уровня воды (h) через объем, который займут шарики:
[
V_{\text{общ}} = S \cdot h
]
Заменим (S) и (V_{\text{общ}}):
[
\frac{2\pi}{3} = 1,5625\pi \cdot h
]
- Решим уравнение для (h):
Сократим (\pi):
[
\frac{2}{3} = 1,5625 \cdot h
]
Теперь выразим (h):
[
h = \frac{2}{3 \cdot 1,5625}
]
[
h \approx \frac{2}{4,6875} \approx 0,426 \text{ см}
]
Таким образом, уровень воды в мензурке изменится примерно на 0,426 см или 4,26 мм.
