Решите неравенство √x+8

Давайте решим неравенство \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\), шаг за шагом. ### Шаг 1: Переносим все слагаемые в одну часть Мы начнем с того, чтобы перенести все слагаемые с \(x\) на одну сторону неравенства. Для этого вычтем \(x\) и 2 из обеих сторон: \[ \sqrt{x} + 8 - x - 2 < 0 \] Это упростится до: \[ \sqrt{x} - x + 6 < 0 \] ### Шаг 2: Перепишем неравенство Теперь мы можем записать неравенство так: \[ \sqrt{x} < x - 6 \] ### Шаг 3: Определим область определения Так как у нас есть выражение \(\sqrt{x}\), \(x\) должно быть неотрицательным. То есть: \[ x \geq 0 \] ### Шаг 4: Решим квадратное неравенство Теперь решим неравенство \(\sqrt{x} < x - 6\). Для этого сначала найдем значения \(x\), когда \(\sqrt{x} = x - 6\): 1. Квадратируем обе стороны (помним, что при этом нужно быть осторожными и учесть область определения): \[ x = (x - 6)^2 \] 2. Раскроем скобки: \[ x = x^2 - 12x + 36 \] 3. Переносим все в одну сторону: \[ 0 = x^2 - 13x + 36 \] 4. Применим формулу решения квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -13\), \(c = 36\): \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \] Это ведет нас к двум решениям: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \] ### Шаг 5: Определим промежутки Теперь мы имеем корни \(x = 4\) и \(x = 9\). Эти значения делят числовую прямую на три интервала: 1. \( (-\infty, 4) \) 2. \( (4, 9) \) 3. \( (9, +\infty) \) ### Шаг 6: Проверка знака на каждом интервале Теперь проверьте знак неравенства \(\sqrt{x} < x - 6\) на каждом из интервалов, подставив тестовые значения: 1. Для интервала \( (-\infty, 4) \): например, \(x = 0\): \[ \sqrt{0} < 0 - 6 \implies 0 < -6 \quad \text{(ложно)} \] 2. Для интервала \( (4, 9) \): например, \(x = 5\): \[ \sqrt{5} < 5 - 6 \implies \sqrt{5} < -1 \quad \text{(ложно)} \] 3. Для интервала \( (9, +\infty) \): например, \(x = 10\): \[ \sqrt{10} < 10 - 6 \implies \sqrt{10} < 4 \quad \text{(истинно, так как } \sqrt{10} \approx 3.16\text{)} \] ### Шаг 7: Запись результата Таким образом, неравенство выполняется только в интервале: \[ x > 9 \] ### Заключение Решение неравенства \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\) — это \(x > 9\).