решите неравенство √x+8<x+2

Давайте решим неравенство \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\), шаг за шагом.

Шаг 1: Переносим все слагаемые в одну часть

Мы начнем с того, чтобы перенести все слагаемые с \(x\) на одну сторону неравенства. Для этого вычтем \(x\) и 2 из обеих сторон:

\[ \sqrt{x} + 8 - x - 2 < 0 \]

Это упростится до:

\[ \sqrt{x} - x + 6 < 0 \]

Шаг 2: Перепишем неравенство

Теперь мы можем записать неравенство так:

\[ \sqrt{x} < x - 6 \]

Шаг 3: Определим область определения

Так как у нас есть выражение \(\sqrt{x}\), \(x\) должно быть неотрицательным. То есть:

\[ x \geq 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное неравенство

Теперь решим неравенство \(\sqrt{x} < x - 6\). Для этого сначала найдем значения \(x\), когда \(\sqrt{x} = x - 6\):

1. Квадратируем обе стороны (помним, что при этом нужно быть осторожными и учесть область определения):

\[ x = (x - 6)^2 \]

2. Раскроем скобки:

\[ x = x^2 - 12x + 36 \]

3. Переносим все в одну сторону:

\[ 0 = x^2 - 13x + 36 \]

4. Применим формулу решения квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -13\), \(c = 36\):

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \]

Это ведет нас к двум решениям:

\[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Шаг 5: Определим промежутки

Теперь мы имеем корни \(x = 4\) и \(x = 9\). Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

1. \( (-\infty, 4) \)
2. \( (4, 9) \)
3. \( (9, +\infty) \)

Шаг 6: Проверка знака на каждом интервале

Теперь проверьте знак неравенства \(\sqrt{x} < x - 6\) на каждом из интервалов, подставив тестовые значения:

1. Для интервала \( (-\infty, 4) \): например, \(x = 0\): \[ \sqrt{0} < 0 - 6 \implies 0 < -6 \quad \text{(ложно)} \]

2. Для интервала \( (4, 9) \): например, \(x = 5\): \[ \sqrt{5} < 5 - 6 \implies \sqrt{5} < -1 \quad \text{(ложно)} \]

3. Для интервала \( (9, +\infty) \): например, \(x = 10\): \[ \sqrt{10} < 10 - 6 \implies \sqrt{10} < 4 \quad \text{(истинно, так как } \sqrt{10} \approx 3.16\text{)} \]

Шаг 7: Запись результата

Таким образом, неравенство выполняется только в интервале:

\[ x > 9 \]

Заключение

Решение неравенства \(\sqrt{x} + 8 < x + 2\) — это \(x > 9\).