Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться законом преломления света, известным как закон Снеллиуса:
[
n_1 \cdot \sin(a) = n_2 \cdot \sin(B)
]
где:
- ( n_1 ) — абсолютный показатель преломления первой среды (для воздуха ( n_1 \approx 1 )),
- ( n_2 ) — абсолютный показатель преломления второй среды (в данном случае рубин, ( n_2 = 1.76 )),
- ( a ) — угол падения,
- ( B ) — угол преломления.
Из условия задачи известно, что угол преломления ( B ) в два раза меньше угла падения ( a ), то есть:
[
B = \frac{a}{2}
]
Теперь подставим это значение в закон преломления:
[
1 \cdot \sin(a) = 1.76 \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right)
]
Это уравнение мы можем решить, привязывая к ним соответствующие тригонометрические функции. Однако сначала преобразуем уравнение с учётом ( B = \frac{a}{2} ):
[
\sin(a) = 1.76 \cdot \sin\left(\frac{a}{2}\right)
]
Воспользуемся формулой для преобразования угла:
[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}
]
Подставим это в уравнение:
[
\sin(a) = 1.76 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}
]
Также зная, что:
[
\sin(a) = \sqrt{1 - \cos^2(a)}
]
можем попробовать решить уравнение через известные диапазоны значений.
Однако, чтобы не углубляться в сложные алгебраические преобразования, можно подставить значения из предложенных вариантов:
- Для каждой пары ( (a, B) ) проверяем выполняемость условия закона преломления.
1. Проверим ( a = 72°, B = 36° ):
[
\sin(72°) \approx 0.9511 \quad \text{и} \quad \sin(36°) \approx 0.5878
]
[
0.9511 \neq 1.76 \cdot 0.5878 \approx 1.033 \quad (\text{не подходит})
]
2. Проверим ( a = 60°, B = 30° ):
[
\sin(60°) \approx 0.8660 \quad \text{и} \quad \sin(30°) \approx 0.5000
]
[
0.8660 \neq 1.76 \cdot 0.5000 \approx 0.880 \quad (\text{не подходит})
]
3. Проверим ( a = 56°, B = 28° ):
[
\sin(56°) \approx 0.8290 \quad \text{и} \quad \sin(28°) \approx 0.4695
]
[
0.8290 \approx 1.76 \cdot 0.4695 \approx 0.827 \quad (\text{подходит})
]
4. Проверим ( a = 48°, B = 24° ):
[
\sin(48°) \approx 0.7431 \quad \text{и} \quad \sin(24°) \approx 0.4067
]
[
0.7431 \neq 1.76 \cdot 0.4067 \approx 0.715 \quad (\text{не подходит})
]
Таким образом, из всех предложенных вариантов правильными являются:
- Угол падения ( a = 56° ) и угол преломления ( B = 28° ).
Ответ: угол падения ( a = 56° ), угол преломления ( B = 28° ).
