исследовать на экстремум и точки перегиба кривую y=1/3x³-x²+6
Рассмотрим кривую заданную уравнением \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 6 \). Чтобы исследовать её на экстремумы и точки перегиба, нам потребуется провести несколько шагов.
Шаг 1: Найдем производную функции
Для нахождения экстремумов, сначала найдем первую производную функции \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 6\right) \]
Используя правила дифференцирования:
\[ y' = x^2 - 2x \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Нам нужно решить уравнение:
\[ y' = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \]
Факторизуем уравнение:
\[ x(x - 2) = 0 \]
Таким образом, критические точки:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
Шаг 3: Исследуем знаки производной
Теперь, чтобы понять, являются ли критические точки минимумом или максимумом, исследуем знак производной \( y' \) на интервалах:
Выбираем точку в интервале \( (-\infty, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ y'(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \quad (\text{положительно}) \]
Выбираем точку в интервале \( (0, 2) \), например, \( x = 1 \): \[ y'(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \quad (\text{отрицательно}) \]
Выбираем точку в интервале \( (2, \infty) \), например, \( x = 3 \): \[ y'(3) = (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Определим характер экстремумов
Из исследования знаков мы можем сделать вывод:
- В интервале \( (-\infty, 0) \) производная положительна, следовательно, функция возрастает.
- В интервале \( (0, 2) \) производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
- В интервале \( (2, \infty) \) производная снова положительна, следовательно, функция возрастает.
Это указывает на то, что:
- В точке \( x = 0 \) находится локальный максимум.
- В точке \( x = 2 \) находится локальный минимум.
Шаг 5: Найдем вторую производную для точек перегиба
Теперь найдем вторую производную функции, чтобы определить точки перегиба:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \]
Решаем уравнение \( y'' = 0 \):
\[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \]
Шаг 6: Исследуем знак второй производной
Чтобы определить, является ли \( x = 1 \) точкой перегиба, исследуем знак второй производной в интервалах:
Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y''(0) = 2(0) - 2 = -2 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ y''(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2 \quad (\text{положительно}) \]
Это меняет знак, следовательно, в точке \( x = 1 \) находится точка перегиба.
Резюме
Экстремумы:
- Локальный максимум в точке \( x = 0 \).
- Локальный минимум в точке \( x = 2 \).
Точка перегиба:
- В точке \( x = 1 \).
Теперь вы понимаете, как исследовать кривую на экстремумы и точки перегиба. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
