Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую y=1/3x³-x²+6

Рассмотрим кривую заданную уравнением \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 6 \). Чтобы исследовать её на экстремумы и точки перегиба, нам потребуется провести несколько шагов. ### Шаг 1: Найдем производную функции Для нахождения экстремумов, сначала найдем первую производную функции \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 6\right) \] Используя правила дифференцирования: \[ y' = x^2 - 2x \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Нам нужно решить уравнение: \[ y' = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \] Факторизуем уравнение: \[ x(x - 2) = 0 \] Таким образом, критические точки: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \] ### Шаг 3: Исследуем знаки производной Теперь, чтобы понять, являются ли критические точки минимумом или максимумом, исследуем знак производной \( y' \) на интервалах: 1. Выбираем точку в интервале \( (-\infty, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ y'(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \quad (\text{положительно}) \] 2. Выбираем точку в интервале \( (0, 2) \), например, \( x = 1 \): \[ y'(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 \quad (\text{отрицательно}) \] 3. Выбираем точку в интервале \( (2, \infty) \), например, \( x = 3 \): \[ y'(3) = (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 \quad (\text{положительно}) \] ### Шаг 4: Определим характер экстремумов Из исследования знаков мы можем сделать вывод: - В интервале \( (-\infty, 0) \) производная положительна, следовательно, функция возрастает. - В интервале \( (0, 2) \) производная отрицательна, следовательно, функция убывает. - В интервале \( (2, \infty) \) производная снова положительна, следовательно, функция возрастает. Это указывает на то, что: - В точке \( x = 0 \) находится **локальный максимум**. - В точке \( x = 2 \) находится **локальный минимум**. ### Шаг 5: Найдем вторую производную для точек перегиба Теперь найдем вторую производную функции, чтобы определить точки перегиба: \[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \] Решаем уравнение \( y'' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] ### Шаг 6: Исследуем знак второй производной Чтобы определить, является ли \( x = 1 \) точкой перегиба, исследуем знак второй производной в интервалах: 1. Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y''(0) = 2(0) - 2 = -2 \quad (\text{отрицательно}) \] 2. Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ y''(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2 \quad (\text{положительно}) \] Это меняет знак, следовательно, в точке \( x = 1 \) находится **точка перегиба**. ### Резюме - **Экстремумы:** - Локальный максимум в точке \( x = 0 \). - Локальный минимум в точке \( x = 2 \). - **Точка перегиба:** - В точке \( x = 1 \). Теперь вы понимаете, как исследовать кривую на экстремумы и точки перегиба. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!